Corrigé CCINP 2026 Sciences industrielles PSI — Partie III.2 (Q15 à Q26) : Asservissement en vitesse du convoyeur, correction PI

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Sciences industrielles PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Exigences (figure 10) : erreur statique sur la vitesse limitée à $0, 01 m \cdot s^{- 1}$ ; marge de phase d'au moins $4 5^{\circ}$ ; temps de réponse à $5%$ inférieur à $5 s$ .

Consigne $v_{c} (t)$ convertie en $n_{c} (t)$ (inc/s) par un gain $K_{A}$ ; mesure $n_{m} (t)$ par un codeur incrémental de gain $K_{C O D}$ sur l'arbre moteur ; écart $ε = n_{c} - n_{m}$ corrigé par $C (p)$ en commande $u_{c} (t)$ (V). La perturbation $u_{p} (t)$ s'ajoute à $u_{c}$ avant le moteur $H_{m} (p)$ ; puis $v (t) = K_{R} ω_{m} (t)$ .

Q15. Proposer le schéma-bloc d'entrées $V_{c} (p)$ , $U_{p} (p)$ et de sortie $V (p)$ .
Q16. Exprimer $K_{A}$ pour que $ε (t)$ soit proportionnel à $v_{c} (t) - v (t)$ .

Figure 11 — Partie moteur et codeur incrémental.

Codeur (figure 12) : deux pistes en quadrature, « 128 pôles par piste » (une paire N/S par période) ; tous les changements d'état comptés.

Figure 12 — Signaux du codeur.

Q17. Exprimer $K_{C O D}$ .

Réponse $n_{m} (t)$ à un échelon $u_{c} = 48 V$ :

Courbe du DR (Q18).

Q18. Identifier $K_{p er t}$ et $H_{m} (p)$ (ordre de grandeur et unité des gains).

Figure 13 : $V (p) = \frac{K _{B O}}{1 + τ _{B O} p} (U_{c} (p) + K_{p er t} C_{R e q} (p))$ avec $U_{c} = C^{'} (p) ε^{'} (p)$ , $ε^{'} = V_{c} - V$ (retour unitaire) ; $K_{p er t} = 2, 5 V \cdot N^{- 1} \cdot m^{- 1}$ , $K_{B O} = 3, 5 \times 1 0^{- 2} m \cdot s^{- 1} \cdot V^{- 1}$ , $τ_{B O} = 1 s$ .

Sans perturbation, échelon $V_{C 0} = 1 m \cdot s^{- 1}$ , $C^{'} = K_{P}$ .

Q19. $K_{P}$ pour une erreur statique d'au plus $1%$ .
Q20. $t_{5%}$ en fonction de $K_{P}$ ; A.N. ; conformité.
Q21. Erreur statique ajoutée par une perturbation en échelon $C_{R 0}$ .

Bode d'une FTBO plus fine, $K_{P} = 1000 V \cdot m^{- 1} \cdot s$ :

Diagramme du DR (Q22).

Q22. Mesurer les marges ; déterminer $K_{P}$ donnant la marge de phase limite.

On passe à un correcteur PI $C^{'} (p) = K_{P} \frac{1 + T _{i} p}{T _{i} p}$ .

Q23. Quel critère ce correcteur permet-il de valider ?
Q24. Bode asymptotique et réel du correcteur pour $K_{P} = 1420 V \cdot m^{- 1} \cdot s$ , $T_{i} = 0, 2 s$ .

Réglage PI, consigne $0, 5 m \cdot s^{- 1}$ , perturbation $- 4 N \cdot m$ :

Courbes du DR (Q25, Q26).

Q25. Vérifier le cahier des charges sur ces courbes.
Q26. Intervalle de temps de saturation ; grandeur saturée et valeur.

Corrigé

Q15. La consigne est convertie en incréments par seconde, le codeur est monté sur l'arbre moteur : il mesure $Ω_{m}$ , avant le réducteur et la poulie. La perturbation s'additionne à la commande à l'entrée du moteur.

Ce que le correcteur attend : la chaîne de retour part de $Ω_{m}$ (codeur sur l'arbre moteur), et $K_{R}$ est hors de la boucle de mesure.

Q16. D'après le schéma, avec $Ω_{m} = V / K_{R}$ :

$ε = K_{A} V_{c} - K_{C O D} Ω_{m} = K_{A} V_{c} - \frac{K _{C O D}}{K _{R}} V .$

Pour que $ε$ soit proportionnel à $V_{c} - V$ , il faut que la consigne et la mesure soient converties de la même façon : $K_{A} = \frac{K _{C O D}}{K _{R}}$ ; alors $ε = K_{A} (V_{c} - V)$ . Unité : $inc \cdot m^{- 1}$ . Avec $K_{R} = 0, 01 m$ (partie III.1, Q6) et $K_{C O D}$ de Q17 : $K_{A} \approx 81, 5/0, 01 \approx 8, 1 \times 1 0^{3} inc \cdot m^{- 1}$ .

Q17. Une paire de pôles N/S fait parcourir une période à chaque signal $a$ et $b$ ; chaque signal présente 2 fronts par période, et les deux pistes en quadrature en donnent 4 décalés d'un quart de période. En comptant tous les changements d'état, on obtient $4 \times 128 = 512$ incréments par tour. Donc

$K_{C O D} = \frac{4 \times 128}{2 π} = \frac{512}{2 π} \approx 81, 5 inc \cdot ra d^{- 1} (512 inc/tour),$

de sorte que $n_{m} (inc \cdot s^{- 1}) = K_{C O D} ω_{m} (rad \cdot s^{- 1})$ . La quadrature donne aussi le sens de rotation (sens 1 ou 2 selon le signal en avance).

Ce que le correcteur attend : le facteur 4 et une unité. Le sujet écrit « 128 pôles par piste » alors que la figure 12 compte les périodes en paires de pôles N/S ; le rapport du jury lit « 128 paires de pôles », soit $512 inc/tour$ , et c'est la lecture cohérente avec les données de la figure 13 : $K_{B O} = K_{R} K_{m}$ avec $K_{R} = 0, 01 m$ donne $K_{m} = 3, 5 rad \cdot s^{- 1} \cdot V^{- 1}$ , soit $ω_{m \infty} = 168 rad \cdot s^{- 1}$ sous $48 V$ et $n_{m \infty} = K_{C O D} ω_{m \infty} \approx 1, 4 \times 1 0^{4} inc \cdot s^{- 1}$ , l'ordre de grandeur de la courbe du DR (Q18). Avec 64 paires (256 inc/tour), on n'en obtiendrait que la moitié.

Q18. Choix du modèle. Chaque courbe part de $0$ avec une tangente à l'origine non nulle (pente non nulle), croît sans dépassement ni oscillation vers une asymptote horizontale : c'est la signature d'un système du premier ordre. On pose

$H_{m} (p) = \frac{K _{m}}{1 + τ _{m} p} .$

Gain. Pour $C_{R e q} = 0$ , on lit $n_{m \infty} \approx 12800 inc \cdot s^{- 1}$ , soit $ω_{m \infty} = n_{m \infty} / K_{C O D} \approx 12 800/81, 5 \approx 157 rad \cdot s^{- 1}$ pour $48 V$ :

$K_{m} = \frac{ω _{m \infty}}{U _{c}} \approx \frac{157}{48} \approx 3, 3 rad \cdot s^{- 1} \cdot V^{- 1} .$

Constante de temps. La courbe atteint $63%$ de sa valeur finale, $0, 63 \times 12800 \approx 8100 inc \cdot s^{- 1}$ , vers $t \approx 0, 9$ à $1 s$ (même lecture par l'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote, ou par $t_{5%} = 3 τ_{m} \approx 3 s$ , où la courbe atteint $12200$ ) : $τ_{m} \approx 1 s$ .

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