Corrigé CCINP 2026 Sciences industrielles PSI — Partie IV (Q27 à Q34) : Assiette de la barge et diagramme d'état de la navette

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Sciences industrielles PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La barge porte 6 conteneurs, remplis par une navette mobile sur un rail. Assiette admissible : $0, 5^{\circ}$ .

Barge à vide : longueur $L = 15 m$ , largeur $ℓ = 5 m$ , deux flotteurs de largeur $a = 1, 25 m$ (écartés de $2, 5 m$ ), hauteur $h = 1 m$ , masse (conteneurs vides inclus) $m_{B} = 10 t$ ; $n_{c} = 6$ conteneurs de charge nominale $m_{c} = 800 kg$ . $g = 10 m \cdot s^{- 2}$ , $ρ_{e} = 1000 kg \cdot m^{- 3}$ ; socle parallélépipédique ; à vide, $G_{B}$ et le centre de poussée $C_{P_{A}}$ sont au milieu de la barge.

Figure 16 — Section transversale d'une barge (flotteurs en noir).

Q27. Exprimer et calculer l'enfoncement $h_{l m}$ de la barge à vide.

On remplit le seul conteneur 6, d'extrémité, de centre de gravité $G_{c 6}$ (figure 17).

Figure 17 — Barge en remplissage (conteneur 6 plein).

Q28. Calculer le décalage $Δ y_{G}$ du centre de gravité global.
Q29. Barge à l'équilibre sous son poids et la poussée d'Archimède : condition sur la position de $C_{P_{A}}$ selon $y_{0}$ .

Avec une assiette $β$ (figure 18), l'enfoncement vaut $h_{l m} \pm z$ aux extrémités.

Figure 18 — Volume immergé avec angle d'assiette (en gris).

Q30. Exprimer $β$ en fonction de $z$ et $L$ ; calculer $z$ pour $β = 0, 01 rad$ .
Q31. Exprimer le décalage $Δ y_{C_{P_{A}}}$ du centre de poussée (centre de la surface immergée) selon $y_{b}$ en fonction de $z$ .

Figure 19 — Angle d'assiette et décalage de poussée (courbe fournie).

Q32. Justifier la nécessité de réguler la répartition des déchets.

Navette : largeur $2, 5 m$ ; détecteurs 1 et 2 d'un conteneur distants de $1 m$ . Tapis de la navette : arbre moteur $ω_{m T} = 50 rad \cdot s^{- 1}$ , poulie motrice de diamètre $D_{m} = 40 mm$ , poulie réceptrice $D_{R} = 160 mm$ solidaire du tambour d'entraînement de diamètre $D_{T} = 200 mm$ .

Bacs 2 à 6 : aller rapide (sens $+$ ) jusqu'au détecteur 2, vidage en vitesse lente en sens $-$ , tapis en sens inverse ; arrêt au front descendant du détecteur 1, tapis encore 3 s, retour rapide. Bac 1 : vidage lent en sens $+$ , tapis inversé, arrêt au front descendant du détecteur 2. Notations : Bac1, Bac2a6, Det1, Det2, !Det1, !Det2 ; activités Vr $\pm$ , Vl $\pm$ , T $\pm$ .

Q33. Calculer la vitesse lente assurant une répartition uniforme des déchets dans le conteneur.
Q34. Compléter le diagramme d'état de la navette (DR : transitions et activités en pointillés).

Corrigé

Q27. On isole la barge, au repos dans le référentiel terrestre supposé galiléen, soumise à son poids et à la poussée d'Archimède (statique des fluides). Seuls les deux flotteurs, parallélépipédiques de section $a \times h_{l m}$ et de longueur $L$ , sont immergés :

$ρ_{e} g (2 a L h_{l m}) = m_{B} g ⟹ h_{l m} = \frac{m _{B}}{2 ρ _{e} a L} .$

A.N. : $h_{l m} = \frac{10 000}{2 \times 1 000 \times 1 , 25 \times 15} = \frac{10 000}{37 500} \approx 0, 27 m$ , inférieur à $h = 1 m$ : la barge flotte bien sur ses flotteurs. Ce que le correcteur attend : le facteur 2 (deux flotteurs) et le volume des seuls flotteurs, pas celui de toute la largeur $ℓ$ .

Q28. Origine en $G_{B}$ ; le conteneur 6 plein ajoute la masse $m_{c}$ en $y = b$ . Par définition du barycentre :

$Δ y_{G} = \frac{m _{B} \times 0 + m _{c} b}{m _{B} + m _{c}} = \frac{m _{c} b}{m _{B} + m _{c}} = \frac{800 \times 6}{10 800} \approx 0, 44 m,$

vers le conteneur 6 (sens $+ y_{0}$ ).

Q29. La barge à l'équilibre est un solide soumis à deux glisseurs : son poids, porté par la verticale de $G$ , et la poussée d'Archimède, portée par la verticale de $C_{P_{A}}$ . D'après le principe fondamental de la statique, deux glisseurs en équilibre sont opposés et ont même support. Donc $C_{P_{A}}$ doit se trouver sur la verticale de $G$ :

$y_{C_{P_{A}}} = y_{G}, soit Δ y_{C_{P_{A}}} = Δ y_{G} \approx 0, 44 m .$

C'est en s'inclinant (assiette $β$ ) que la barge déplace son volume immergé, donc son centre de poussée, jusqu'à satisfaire cette condition.

Q30. La différence d'enfoncement entre les deux extrémités est $(h_{l m} + z) - (h_{l m} - z) = 2 z$ sur la longueur $L$ :

$tan β = \frac{2 z}{L} ⟹ β \approx \frac{2 z}{L} (petit angle), z = \frac{β L}{2} .$

A.N. : $z = \frac{0 , 01 \times 15}{2} = 0, 075 m = 7, 5 cm$ . Le volume immergé est conservé (même enfoncement moyen $h_{l m}$ ) : ce qui est gagné à une extrémité est perdu à l'autre.

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