Corrigé Centrale 2025 Chimie PC — Partie C (Q35 à Q39) : Inhibition compétitive : AEQS, vitesse de formation, méthode d'Euler

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Chimie PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans l'organisme, le Tamoxifène T bloque l'action des œstrogènes sur les cellules réceptrices. On modélise ce processus par une inhibition compétitive. Sans Tamoxifène, un substrat S se fixe sur le récepteur à œstrogène E et conduit à un composé biologiquement actif P (modèle (i)). Le Tamoxifène, en compétition avec S, se fixe sur E et conduit à un composé P $^{'}$ biologiquement inactif (modèle (ii)). Les durées de vie des complexes intermédiaires ES et ET sont supposées très courtes.

$(i) S + E k X_{1} k X_{- 1} ES k X_{2} E + P (ii) S + E k X_{1} k X_{- 1} ES k X_{2} E + P T + E k X_{3} k X_{- 3} ET k X_{4} E + P X^{'}$

{Figure 16 — (i) Action du substrat S sur le récepteur E ; (ii) inhibition compétitive en présence de Tamoxifène T.}

On étudie d'abord le modèle (ii) ; $[E]_{0}$ est la concentration initiale du récepteur.
Q35. Établir $\frac{[ E ]}{[ ES ]} = \frac{k _{- 1} + k _{2}}{k _{1} [ S ]}$ et $\frac{[ E ]}{[ ET ]} = \frac{k _{- 3} + k _{4}}{k _{3} [ T ]}$ .
Q36. Relation de conservation de la concentration du récepteur au cours du temps.
Q37. En déduire la vitesse $v$ de formation de P en fonction, entre autres, de $[E]_{0}$ et des constantes de vitesse.
Q38. Montrer que le modèle rend compte de l'action inhibitrice du Tamoxifène.

Les courbes de la figure 17 sont simulées en Python par la méthode d'Euler : duree est la durée de la simulation, h le pas de temps ; la liste t (temps) et la liste P (concentration de P sans inhibiteur, modèle (i)) ont été initialisées.

{Figure 17 — Simulation de l'évolution de la concentration de P avec et sans inhibiteur}

Q39. Écrire une boucle construisant les listes t et P ; on suppose qu'une ligne non détaillée met à jour, à chaque itération, une liste ES des concentrations de ES.

Corrigé

Q35. Les étapes des schémas sont des actes élémentaires : leurs vitesses suivent la loi de Van 't Hoff (ordre partiel égal au nombre stœchiométrique de chaque réactif). Bilan de formation et de consommation de ES, puis de ET :

$\frac{d [ ES ]}{d t} = k_{1} [S] [E] - k_{- 1} [ES] - k_{2} [ES], \frac{d [ ET ]}{d t} = k_{3} [T] [E] - k_{- 3} [ET] - k_{4} [ET] .$

ES et ET ont des durées de vie très courtes : ce sont des intermédiaires très réactifs, présents en faible concentration, auxquels on applique l'approximation des états quasi stationnaires (AEQS) : $d [ES] / d t \approx 0$ et $d [ET] / d t \approx 0$ . Il vient

$k_{1} [S] [E] = (k_{- 1} + k_{2}) [ES] ⟹ \frac{[ E ]}{[ ES ]} = \frac{k _{- 1} + k _{2}}{k _{1} [ S ]},$

$k_{3} [T] [E] = (k_{- 3} + k_{4}) [ET] ⟹ \frac{[ E ]}{[ ET ]} = \frac{k _{- 3} + k _{4}}{k _{3} [ T ]} .$

On note dans la suite $K_{M} = \frac{k _{- 1} + k _{2}}{k _{1}}$ et $K_{I} = \frac{k _{- 3} + k _{4}}{k _{3}}$ , homogènes à des concentrations ( $k_{1}$ et $k_{3}$ , constantes d'actes bimoléculaires, sont en $L \cdot mo l^{- 1} \cdot s^{- 1}$ ; $k_{- 1}$ , $k_{2}$ , $k_{- 3}$ , $k_{4}$ en $s^{- 1}$ ).

Q36. Le récepteur n'est ni créé ni détruit (il est régénéré par les étapes $k_{2}$ et $k_{4}$ ) ; à chaque instant, il est soit libre, soit engagé dans l'un des deux complexes :

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