Corrigé Centrale 2025 Physique 1 PC — Partie A.I (Q1 à Q7) : Effet Doppler et mesure de la célérité de la lumière par Rømer

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un émetteur $E$ envoie un signal lumineux aux instants $t_{k} = k T$ ; le signal, de célérité $c_{0}$ , est reçu par $R$ aux instants $t_{k}^{'}$ ; $d_{k} = R_{k} E$ est la distance à l'instant $t_{k}^{'}$ . D'abord $R$ s'éloigne de $E$ en ligne droite à la vitesse $v$ (figure 1).

Figure 1 — Récepteur en éloignement longitudinal.

Ensuite $v$ est quelconque, quasi uniforme entre deux réceptions : $R_{k} R_{k + 1} ≃ v (t_{k + 1}^{'} - t_{k}^{'})$ , et l'axe $(O x)$ est choisi tel que $R_{k} E = - d_{k} u_{x}$ (figure 2).

Figure 2 — Récepteur en mouvement arbitraire.

Q1. Exprimer $d_{k + 1}$ en fonction de $d_{k}$ , $c_{0}$ , $T$ , $t_{k}^{'}$ , $t_{k + 1}^{'}$ ; montrer que la réception est périodique de période $T^{'}$ à exprimer ; nom de l'effet.
Q2. Exprimer $d_{k + 1}$ en fonction de $d_{k}$ , $v_{x}$ , $v_{y}$ et $T^{'} = t_{k + 1}^{'} - t_{k}^{'}$ .
Q3. En déduire, au premier ordre en $v / c_{0}$ , $T^{'} = T / (1 - v_{x} / c_{0})$ ( $v_{x}$ : vitesse d'éloignement).

Rømer mesure la durée $τ$ entre deux apparitions successives d'Io, satellite de Jupiter ; $τ$ varie annuellement autour de $τ_{m} = 42, 46 h$ , d'amplitude totale $Δ τ = 22 min$ (tableau 1).

Début des mesures	13 mai	13 juin	7 août	14 août	23 août
$τ$ (heures)	42,45	42,54	42,50	42,48	42,63

Tableau 1 — Les premières mesures de Rømer (1676).

Données : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot s^{- 2} \cdot k g^{- 1}$ , $M_{⊙} = 1, 99 \times 1 0^{30} kg$ , $R_{S} = 6, 96 \times 1 0^{8} m$ , $d_{JS} = 7, 78 \times 1 0^{11} m$ (Jupiter--Soleil), $d_{JI} = 4, 22 \times 1 0^{8} m$ (Jupiter--Io), $a_{0} = 1, 49 \times 1 0^{11} m$ (Terre--Soleil), $T_{0} = 365$ jours, $c_{0} = 3, 00 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ .

Q4. Orbites circulaires, coplanaires, de même sens : calculer la période $T_{J}$ de Jupiter.
On travaille dans le référentiel qui accompagne Jupiter (axe Soleil--Jupiter fixe, selon $(O x)$ ) ; l'émetteur $E$ est confondu avec Jupiter.
Q5. Montrer que la Terre y décrit un cercle à vitesse $v ≃ 27 km/s$ ; valeurs extrêmes et moyenne de sa vitesse d'éloignement de $E$ .
Q6. (Question ouverte.) Montrer que $Δ τ ≃ T_{0} v / (π c_{0})$ ; en déduire l'estimation de $c_{0}$ par Rømer ; commenter.
Q7. (Question ouverte.) Estimer $M_{⊙} / M_{J}$ et commenter l'écart entre les origines des référentiels héliocentrique $(R_{H})$ (centre du Soleil) et de Copernic $(R_{K})$ (barycentre Soleil--Jupiter).

Corrigé

Q1. Le signal émis à $t_{k}$ parcourt à la célérité $c_{0}$ la distance $d_{k}$ qui sépare $E$ de la position $R_{k}$ du récepteur à l'instant de réception : $d_{k} = c_{0} (t_{k}^{'} - t_{k})$ . De même $d_{k + 1} = c_{0} (t_{k + 1}^{'} - t_{k + 1}) = c_{0} (t_{k + 1}^{'} - t_{k} - T)$ . Par différence :

$d_{k + 1} = d_{k} + c_{0} (t_{k + 1}^{'} - t_{k}^{'}) - c_{0} T .$

Par ailleurs le récepteur s'éloigne de $E$ en ligne droite à la vitesse $v$ : entre $t_{k}^{'}$ et $t_{k + 1}^{'}$ la distance augmente de $v (t_{k + 1}^{'} - t_{k}^{'})$ , soit $d_{k + 1} = d_{k} + v (t_{k + 1}^{'} - t_{k}^{'})$ . En égalant les deux expressions :

$(c_{0} - v) (t_{k + 1}^{'} - t_{k}^{'}) = c_{0} T ⟹ t_{k + 1}^{'} - t_{k}^{'} = \frac{c _{0} T}{c _{0} - v} .$

Cette durée ne dépend pas de $k$ : la réception est périodique, de période

$T^{'} = \frac{T}{1 - v / c _{0}} > T (r e ˊ cepteur qui s’ e ˊ loigne) .$

C'est l'effet Doppler (Doppler--Fizeau pour la lumière) : la fréquence reçue $1/ T^{'}$ est plus faible que la fréquence émise quand le récepteur s'éloigne.

Ce que le correcteur attend : la relation entre $d_{k + 1}$ , $d_{k}$ , $t_{k}^{'}$ , $t_{k + 1}^{'}$ et $T$ d'abord, puis la preuve que $t_{k + 1}^{'} - t_{k}^{'}$ est indépendant de $k$ — c'est cela qui établit la périodicité.

Q2. Relation de Chasles sur les vecteurs (pas sur les distances) : $R_{k + 1} E = R_{k + 1} R_{k} + R_{k} E = - v T^{'} - d_{k} u_{x}$ , avec $T^{'} = t_{k + 1}^{'} - t_{k}^{'}$ . Avec $v = v_{x} u_{x} + v_{y} u_{y}$ :

$R_{k + 1} E = - (d_{k} + v_{x} T^{'}) u_{x} - v_{y} T^{'} u_{y} ⟹ d_{k + 1} = (d_{k} + v_{x} T^{'})^{2} + v_{y}^{2} T^{'2} .$

Pour $v_{y} = 0$ et $v_{x} = v$ , on retrouve $d_{k + 1} = d_{k} + v T^{'}$ (Q1).

Q3. Le déplacement de $R$ pendant $T^{'}$ est petit devant la distance : $v T^{'} ≪ d_{k}$ . On développe :

$d_{k + 1} = (d_{k} + v_{x} T^{'}) 1 + \frac{v _{y}^{2} T ^{'2}}{( d _{k} + v _{x} T ^{'} ) ^{2}} ≃ d_{k} + v_{x} T^{'} + \frac{v _{y}^{2} T ^{'2}}{2 d _{k}} .$

Le dernier terme est quadratique en la vitesse : divisé par $c_{0}$ , il donne une contribution à $T^{'} - T$ d'ordre $\frac{v _{y}}{c _{0}} \cdot \frac{v _{y} T ^{'}}{2 d _{k}} T^{'}$ , produit de $v / c_{0}$ par le petit rapport $v T^{'} / d_{k}$ ; on le néglige au premier ordre (un déplacement transverse ne modifie la distance qu'au second ordre). La relation de propagation de Q1, $d_{k + 1} = d_{k} + c_{0} (T^{'} - T)$ , reste valable (elle ne fait intervenir que les distances parcourues par la lumière). Donc

$c_{0} (T^{'} - T) = v_{x} T^{'} ⟹ T^{'} = \frac{T}{1 - v _{x} / c _{0}}$

Seule la composante de $v$ selon la direction $E \to R$ , la vitesse d'éloignement $v_{x}$ , intervient au premier ordre.

Q4. Dans le référentiel héliocentrique, supposé galiléen, Jupiter (masse $M_{J} ≪ M_{⊙}$ ) n'est soumise qu'à l'attraction du Soleil. Pour une orbite circulaire de rayon $d_{JS}$ , le principe fondamental de la dynamique projeté sur la normale donne $M_{J} \frac{v _{J}^{2}}{d _{JS}} = \frac{G M _{⊙} M _{J}}{d _{JS}^{2}}$ : le mouvement est uniforme et, avec $v_{J} = 2 π d_{JS} / T_{J}$ , on obtient la troisième loi de Kepler :

$\frac{T _{J}^{2}}{d _{JS}^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{⊙}} ⟹ T_{J} = 2 π \frac{d _{JS}^{3}}{G M _{⊙}},$

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