Corrigé Centrale 2025 Physique 1 PC — Partie A.II (Q8 à Q14) : Orbite de Mercure : vecteur excentricité et avance relativiste du périhélie

Q8. $r$ est minimal pour $\cos \theta =1$ (périhélie, $\theta =0$) et maximal pour $\cos \theta =-1$ (aphélie, $\theta =\pi$) :

$$r_{\min }=\frac{p}{1+e},r_{\max }=\frac{p}{1-e}.$$

De $r_{\max }(1-e)=r_{\min }(1+e)$ on tire

$$e=\frac{r_{\max }-r_{\min }}{r_{\max }+r_{\min }}=\frac{6,98-4,60}{6,98+4,60}\approx 0,206,$$

$$p=r_{\min }(1+e)=\frac{2r_{\max }{r}_{\min }}{r_{\max }+r_{\min }}\approx 5,55\times 10^{10}\mathrm{m}.$$

Le paramètre $p$ est une longueur (moyenne harmonique de $r_{\min }$ et $r_{\max }$) ; $e\approx 0,21$ est l'excentricité, forte pour une planète.

Q9. Système : Mercure, de masse $m\ll M_{\odot }$ ; référentiel héliocentrique supposé galiléen, le Soleil étant fixe en $O$. Force : l'attraction gravitationnelle du Soleil, $\overrightarrow{F}=-\frac{\mathcal{G}{M}_{\odot }m}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$ (les autres planètes sont négligées). Le principe fondamental de la dynamique donne

$$\overrightarrow{a}=-\frac{K}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r\text{avec}K=\mathcal{G}{M}_{\odot }=1,33\times 10^{20}{\mathrm{m}}^3\cdot {\mathrm{s}}^{-2}.$$

Théorème du moment cinétique en $O$ fixe : $\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{L}}_O}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$ car la force est centrale. Or ${\overrightarrow{L}}_O=\overrightarrow{OM}\wedge m\overrightarrow{v}=r{\overrightarrow{u}}_r\wedge m(\dot{r}{\overrightarrow{u}}_r+r\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta })=m{r}^2\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_z$. Donc

$$r^2\dot{\theta }={\mathcal{C}}_a=\text{constante},$$

la constante des aires (le double de la vitesse aréolaire : l'aire balayée par $\overrightarrow{OM}$ par unité de temps vaut ${\mathcal{C}}_a/2$, loi des aires de Kepler). Elle est positive parce que le mouvement se fait dans le sens direct ($\dot{\theta }>0$) avec l'orientation de ${\overrightarrow{u}}_z={\overrightarrow{u}}_x\wedge {\overrightarrow{u}}_y$ choisie sur la figure 3 : c'est la composante $L_z/m$, dont le signe dépend de l'orientation de l'axe, et non la norme du moment cinétique.

Q10. Comme $\dot{\theta }={\mathcal{C}}_a/r^2>0$ ne s'annule jamais, $\theta$ croît de façon monotone et l'on peut paramétrer le mouvement par $\theta$ : $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}\theta }=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}/\mathrm{d}t}{\dot{\theta }}$. Avec Q9 :

$$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}\theta }=-\frac{K}{r^2}\frac{r^2}{{\mathcal{C}}_a}{\overrightarrow{u}}_r=-\frac{K}{{\mathcal{C}}_a}{\overrightarrow{u}}_r.$$

Or $\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\mathrm{d}\theta }=-{\overrightarrow{u}}_r$. D'où

$$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}\theta }=\frac{1}{H}\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{u}}_{\theta }}{\mathrm{d}\theta }\text{avec}H=\frac{{\mathcal{C}}_a}{K}>0.$$

Q11. La relation de Q10 s'écrit $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(H\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{u}}_{\theta })=\overrightarrow{0}$ : il existe un vecteur constant $\overrightarrow{e}$, du plan de l'orbite, tel que $H\overrightarrow{v}={\overrightarrow{u}}_{\theta }+\overrightarrow{e}$.

Direction de $\overrightarrow{e}$. Sur la figure 3, l'axe $(Ox)$ passe par le périhélie ($\theta =0$) et l'aphélie ($\theta =\pi$), où $r$ est extrémal donc $\dot{r}=0$ : la vitesse y est orthoradiale, $\overrightarrow{v}=r\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }=\frac{{\mathcal{C}}_a}{r}{\overrightarrow{u}}_{\theta }$. Au périhélie ${\overrightarrow{u}}_{\theta }={\overrightarrow{u}}_y$, donc

$$\overrightarrow{e}=H\overrightarrow{v}(0)-{\overrightarrow{u}}_y=\left(\frac{H{\mathcal{C}}_a}{r_{\min }}-1\right){\overrightarrow{u}}_y,$$