Corrigé Centrale 2025 Physique 1 PC — Partie A.III (Q15 à Q21) : Expérience de Fizeau : entraînement de la lumière et composition des vitesses

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Expérience de Fizeau (1851) : deux tubes de même longueur $L$ contiennent de l'eau (indice $n$ ) circulant à la vitesse $v$ , dans le sens de la lumière (tube 1) ou en sens inverse (tube 2) ; source monochromatique de longueur d'onde $λ_{0}$ dans le vide (figure 4).

Figure 4 — Le principe de l'expérience de Fizeau.

On note $c_{0}$ , $c_{1}$ , $c_{2}$ les célérités (vitesses de phase) dans le vide et dans les tubes 1 et 2, $Δ c = c_{1} - c_{2}$ et $c_{m} = c_{1} c_{2} ≃ \frac{1}{2} (c_{1} + c_{2})$ ( $∣ Δ c ∣ ≪ c_{m}$ ).
Q15. Exprimer $Δ t = t_{2} - t_{1}$ (durées de parcours de $L$ ) puis $Δ φ = φ_{2} - φ_{1}$ en fonction de $L$ , $λ_{0}$ , $c_{0}$ , $c_{m}$ , $Δ c$ .

Trois modèles : sans entraînement ( $Δ c = 0$ ), entraînement total ( $Δ c = 2 v$ ), entraînement partiel de Fresnel ( $Δ c = 2 v (1 - 1/ n^{2})$ ), avec $c_{m} = c_{0} / n$ dans les trois cas. L'expérience tranche si le déplacement $Δ N$ des franges (par rapport à l'eau immobile) dépasse un seuil $Δ N_{m i n}$ ; la différence de marche au point d'observation ne dépend que de $Δ φ$ .
Q16. Valeur de $Δ N$ sans entraînement ?
Q17. Entraînement partiel : montrer que $L > L_{m i n} = Δ N_{m i n} \frac{λ _{0} c _{0}}{2 v ( n ^{2} - 1 )}$ ; application numérique pour $n = 1, 33$ , $λ_{0} = 550 nm$ , $v = 7 m \cdot s^{- 1}$ , $Δ N_{m i n} = 0, 75$ ; cette longueur permet-elle de trancher sur l'entraînement total ?

Dans le référentiel $R^{'}$ lié à l'eau, $c_{ol / R^{'}} = (c_{0} / n) u_{x}$ ; $R^{'}$ est en translation à la vitesse $v_{e} = \pm v u_{x}$ par rapport au laboratoire $R$ .
Q18. Loi classique de composition des vitesses ; en déduire $c_{1}$ , $c_{2}$ , $Δ c$ , $c_{m}$ ; quel modèle ?

En relativité restreinte (vitesses algébriques selon $(O x)$ ) : $v_{M / R} = \frac{v _{e} + v _{M / R^{'}}}{1 + v _{e} v _{M / R^{'}} / c _{0}^{2}}$ .
Q19. Exprimer et commenter $v_{M / R^{'}}$ en fonction de $v_{M / R}$ et $v_{e}$ ; cas $v_{M / R} = \pm c_{0}$ .
Q20. Avec $v_{M / R^{'}} = c_{0} / n$ et $v_{e} = \pm v$ , $v ≪ c_{0}$ : déterminer $c_{1}$ et $c_{2}$ .
Q21. En déduire $Δ c$ et $c_{m}$ ; l'expérience de Fizeau distingue-t-elle ce modèle de celui de Fresnel ?

Corrigé

Q15. La lumière parcourt la longueur $L$ à la célérité $c_{1}$ dans le tube 1 et $c_{2}$ dans le tube 2 : $t_{1} = L / c_{1}$ , $t_{2} = L / c_{2}$ , d'où

$Δ t = t_{2} - t_{1} = L (\frac{1}{c _{2}} - \frac{1}{c _{1}}) = \frac{L ( c _{1} - c _{2} )}{c _{1} c _{2}} = \frac{L Δ c}{c _{m}^{2}} .$

Pour une onde monochromatique de pulsation $ω = 2 π c_{0} / λ_{0}$ (la fréquence ne change pas d'un milieu à l'autre), un retard de propagation $t$ se traduit par un retard de phase $φ = ω t$ . La différence de phase acquise entre les deux tubes vaut donc

$Δ φ = φ_{2} - φ_{1} = ω Δ t = \frac{2 π c _{0} L Δ c}{λ _{0} c _{m}^{2}}$

(sans dimension : $m \cdot s^{- 1} \times m \times m \cdot s^{- 1} / (m \times m^{2} \cdot s^{- 2})$ ). De façon équivalente, la différence de chemin optique est $δ = c_{0} Δ t$ et $Δ φ = 2 π δ / λ_{0}$ .

Q16. L'ordre d'interférence au point d'observation est $p = δ / λ_{0} = Δ φ / (2 π)$ (à une constante près, due au reste du montage). Le déplacement des franges par rapport à l'eau immobile est la variation de cet ordre : $Δ N = \frac{Δ φ ( v ) - Δ φ ( 0 )}{2 π}$ . Sans entraînement, $Δ c = 0$ quelle que soit $v$ , donc

$Δ N = 0 :$

les franges ne se déplacent pas lorsqu'on met l'eau en mouvement. Cela ne veut pas dire qu'il n'y a pas d'interférences : la figure d'interférences existe, elle reste simplement immobile.

Q17. Pour l'eau immobile ( $v = 0$ ), $Δ c = 0$ dans tous les modèles. D'après Q15 et Q16,

$Δ N = \frac{Δ φ}{2 π} = \frac{c _{0} L Δ c}{λ _{0} c _{m}^{2}} .$

Entraînement partiel : $Δ c = 2 v (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = \frac{2 v ( n ^{2} - 1 )}{n ^{2}}$ et $c_{m}^{2} = c_{0}^{2} / n^{2}$ , d'où

$Δ N_{Fresnel} = \frac{c _{0} L}{λ _{0}} \cdot \frac{2 v ( n ^{2} - 1 )}{n ^{2}} \cdot \frac{n ^{2}}{c _{0}^{2}} = \frac{2 v L ( n ^{2} - 1 )}{λ _{0} c _{0}} .$

L'expérience réussit si $Δ N_{Fresnel} > Δ N_{m i n}$ , soit

$L > L_{m i n} = Δ N_{m i n} \frac{λ _{0} c _{0}}{2 v ( n ^{2} - 1 )} = 0, 75 \times \frac{550 \times 1 0 ^{- 9} \times 3 , 00 \times 1 0 ^{8}}{2 \times 7 \times ( 1 , 3 3 ^{2} - 1 )} \approx 11, 5 m .$

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