Corrigé Centrale 2025 Physique 1 PC — Partie B.I (Q22 à Q26) : Le chant des dunes : avalanche de grains et fréquence des chocs

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Lors de micro-avalanches, les dunes émettent un son (le « chant des dunes ») de fréquence comprise entre $60 Hz$ (désert) et $1 kHz$ (plages) ; il disparaît si le sable est humide ou poussiéreux. Le tableau 2 donne des fréquences moyennes $f$ et des diamètres moyens de grains $d$ mesurés.

Dune	$f$ (Hz)	$d$ ( $μ$ m)
Al Wagan (Oman)	$80 \pm 3$	$200 \pm 70$
Dumont (USA)	$83 \pm 7$	$174 \pm 50$
Eureka (USA)	$90 \pm 15$	$165 \pm 50$
Mar de dunas (Chili)	$97 \pm 4$	$168 \pm 40$
Omega 1 (Maroc)	$100 \pm 5$	$155 \pm 20$

Tableau 2 — Caractéristiques du chant de quelques dunes.

Q22. Rappeler la fréquence fondamentale $f_{1}$ d'une corde vibrante fixée aux deux extrémités d'une cavité de longueur $d$ , en fonction de la célérité $c_{a}$ . La célérité du son dans un solide (le sable) dépasse nettement celle de l'air ( $≃ 350 m \cdot s^{- 1}$ à $3 0^{\circ} C$ ) : que penser d'un modèle de résonance acoustique dans des cavités de la taille des grains ?

Second modèle : la dune est un empilement compact de sphères de diamètre $d$ alignées selon un angle $α$ avec l'horizontale ; un grain de la couche supérieure (masse $m$ , homogène) glisse sans frottement en restant au contact des grains fixes de la couche inférieure : son centre passe de $G_{i}$ à $G_{f}$ par une translation circulaire de centre $O$ , repérée par l'angle $θ (t)$ compté depuis la verticale (figure 5).

Figure 5 — Modèle de glissement d'une bille sur une couche de sable.

Q23. Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur du grain en fonction de $m$ , $g$ , $d$ , $θ$ ; montrer qu'il existe une valeur minimale $α_{m i n}$ de $α$ au-delà de laquelle $G_{i}$ n'est plus une position d'équilibre stable.
Q24. Le grain part de $G_{i}$ avec la vitesse $v_{i}$ : sans frottement, déterminer sa vitesse $v_{f}$ en $G_{f}$ en fonction de $v_{i}$ , $g$ , $d$ , $α$ (on pourra utiliser $cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sin a sin b$ ).
Q25. Le choc en $G_{f}$ dissipe une fraction $ϵ$ de l'énergie cinétique : le mouvement suivant repart avec $v_{i}^{'2} = (1 - ϵ) v_{f}^{2}$ . Exprimer $v_{i}^{'2}$ ; montrer que la vitesse tend vers $v_{l i m}$ avec $v_{l i m}^{2} = κ g d$ , $κ (α, ϵ) > 0$ à expliciter.
Pendant l'avalanche, les grains vont à la vitesse quasi constante $v$ , $v^{2} = κ g d$ , et heurtent périodiquement la couche inférieure.
Q26. (Question ouverte.) Fréquence $f$ du son émis ? Compatibilité avec le tableau 2 et estimation de $κ$ ; pertinence pour le chant des plages ?

Données : $g = 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ ; si $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $∣ a ∣ < 1$ , alors $u_{n} \to b / (1 - a)$ .

Corrigé

Q22. Pour une corde vibrante de longueur $d$ fixée à ses deux extrémités, les modes propres vérifient $d = q λ_{q} /2$ ( $q \in N^{*}$ ), d'où la fréquence fondamentale

$f_{1} = \frac{c _{a}}{2 d} .$

Avec $d \approx 170 μ m$ et même la plus petite célérité envisageable, celle de l'air :

$f_{1} ⩾ \frac{350}{2 \times 170 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 1 \times 1 0^{6} Hz,$

et bien davantage avec la célérité dans un solide (quelques $km \cdot s^{- 1}$ , soit $f_{1} \sim 1 0^{7} Hz$ ). Ce sont des ultrasons, inaudibles, quatre à cinq ordres de grandeur au-dessus des $80$ à $100 Hz$ mesurés. Le modèle prévoit certes une fréquence d'autant plus élevée que les grains sont petits (tendance du tableau 2), mais l'ordre de grandeur est faux : ce premier modèle est à rejeter.

Q23. Géométrie. Deux sphères de diamètre $d$ en contact ont leurs centres distants de $d$ : le centre $G$ du grain mobile, toujours au contact du grain fixe centré en $O$ , décrit un cercle de centre $O$ et de rayon $d$ , $O G = d (sin θ u_{x} + cos θ u_{z})$ . Les centres des grains fixes voisins de $O$ dans la couche inférieure sont en $P_{1} = d (- cos α, sin α)$ (en amont) et $P_{2} = d (cos α, - sin α)$ (en aval). En $G_{i}$ , le grain est au contact des grains $O$ et $P_{1}$ : le triangle $O P_{1} G_{i}$ est équilatéral, et $O G_{i}$ fait l'angle $6 0^{\circ}$ avec $O P_{1}$ , lui-même à $- (9 0^{\circ} - α)$ de la verticale. De même, en $G_{f}$ le grain touche $O$ et $P_{2}$ (à $9 0^{\circ} + α$ de la verticale). Ainsi

$θ_{i} = α - \frac{π}{6}, θ_{f} = α + \frac{π}{6} .$

Énergie potentielle de pesanteur (axe $(O z)$ vertical ascendant, référence en $z = 0$ ) :

$E_{p} (θ) = m g z_{G} = m g d cos θ .$

Stabilité de $G_{i}$ . Pour un déplacement $θ > θ_{i}$ (le seul possible, le grain $P_{1}$ bloquant $θ < θ_{i}$ ), $\frac{d E _{p}}{d θ} = - m g d sin θ$ :

si $θ_{i} < 0$ , i.e. $α < π /6$ , $E_{p}$ croît quand $θ$ augmente à partir de $θ_{i}$ : le grain doit franchir la « bosse » $θ = 0$ ; il est ramené contre $P_{1}$ , l'équilibre en $G_{i}$ est stable ;
si $θ_{i} > 0$ , i.e. $α > π /6$ , $E_{p}$ décroît dès que $θ$ augmente : le poids a une composante qui l'entraîne vers l'aval, rien ne la compense (pas de frottement), le grain part — $G_{i}$ n'est plus un équilibre stable.

D'où

$α_{m i n} = \frac{π}{6} = 3 0^{\circ},$

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