Corrigé Centrale 2025 Physique 1 PC — Partie B.II (Q27 à Q35) : Ondes acoustiques dans l'eau : viscosité, atténuation, entraînement par un courant

Q27. En l'absence d'onde, $p=p_{\mathrm{st}}(z)$, $\rho ={\rho }_0$ et $\overrightarrow{v}=v_0{\overrightarrow{u}}_x$ uniforme et constant : $\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}=\overrightarrow{0}$, $(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}=v_0\frac{\partial (v_0{\overrightarrow{u}}_x)}{\partial x}=\overrightarrow{0}$ et $\Delta \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$. L'équation de Navier--Stokes se réduit à la loi de la statique des fluides :

$$\overrightarrow{0}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}{p}_{\mathrm{st}}+{\rho }_0\overrightarrow{g}⟹\frac{\mathrm{d}{p}_{\mathrm{st}}}{\mathrm{d}z}=-{\rho }_{0}g,p_{\mathrm{st}}(z)=p_0-{\rho }_{0}gz$$

($z<0$ dans l'eau : la pression croît avec la profondeur, d'un bar tous les $10\mathrm{m}$ environ). Le courant uniforme ne modifie pas la répartition hydrostatique.

En présence de l'onde, on retranche cette relation : avec $p=p_{\mathrm{st}}+\underline{p}$ et $\rho ={\rho }_0+\underline{\rho }$,

$$\rho \left[\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}\right]=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\underline{p}+\underline{\rho }\overrightarrow{g}+\eta \Delta \overrightarrow{v}.$$

Le terme $\underline{\rho }\overrightarrow{g}$ est négligeable devant $\overrightarrow{\mathrm{grad}}\underline{p}$ : avec $\underline{\rho }={\rho }_0\chi \underline{p}$ (Q28) et $\Vert \overrightarrow{\mathrm{grad}}\underline{p}\Vert \sim k\left|\underline{p}\right|=\omega \left|\underline{p}\right|/c_a$, leur rapport vaut ${\rho }_0\chi g{c}_a/\omega =g/(\omega c_a)$ (car ${\rho }_0\chi =1/c_a^2$, Q29), soit $10^{-3}$ dès $f=1\mathrm{Hz}$. D'où la forme simplifiée, où la pesanteur n'intervient plus :

$$\rho \left[\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}\right]=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\underline{p}+\eta \Delta \overrightarrow{v}.$$

Ce que le correcteur attend : le signe de la loi de la statique avec un axe $(Oz)$ ascendant, $\mathrm{d}p/\mathrm{d}z=-{\rho }_{0}g$.

Q28. Le coefficient de compressibilité isentropique est

$$\chi =-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_S=\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \rho }{\partial p}\right)}_S,$$

défini à entropie constante car les compressions acoustiques sont trop rapides pour que la chaleur diffuse (évolution adiabatique, réversible en l'absence de dissipation). Au premier ordre (approximation acoustique, $\left|\underline{\rho }\right|\ll {\rho }_0$), la variation de $\rho$ est proportionnelle à celle de $p$ :

$$\underline{\rho }={\rho }_0\chi \underline{p}.$$

Q29. Équation d'Euler linéarisée ($\eta =0$, $v_0=0$). Le terme convectif $(\underline{\overrightarrow{v}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\underline{\overrightarrow{v}}$ est du second ordre, et $\rho \simeq {\rho }_0$ devant une accélération d'ordre un : ${\rho }_0\frac{\partial \underline{\overrightarrow{v}}}{\partial t}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\underline{p}$. En notation complexe, $\partial /\partial t\to \mathrm{i}\omega$ et $\overrightarrow{\mathrm{grad}}\to -\mathrm{i}\overrightarrow{k}$ :

$$\mathrm{i}\omega {\rho }_0\underline{\overrightarrow{v}}=\mathrm{i}\overrightarrow{k}\underline{p}⟹{\rho }_0\omega \underline{\overrightarrow{v}}=\overrightarrow{k}\underline{p}.$$

Conservation de la masse linéarisée : $\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{div}(\rho \overrightarrow{v})=0$ donne au premier ordre $\frac{\partial \underline{\rho }}{\partial t}+{\rho }_0\mathrm{div}\underline{\overrightarrow{v}}=0$, soit, avec $\mathrm{div}\to -\mathrm{i}\overrightarrow{k}\cdot$ et Q28,

$$\mathrm{i}\omega {\rho }_0\chi \underline{p}-\mathrm{i}{\rho }_0\overrightarrow{k}\cdot \underline{\overrightarrow{v}}=0⟹\overrightarrow{k}\cdot \underline{\overrightarrow{v}}=\chi \omega \underline{p}.$$

Relation de dispersion. En multipliant scalairement la première relation par $\overrightarrow{k}$ : ${\rho }_0\omega \overrightarrow{k}\cdot \underline{\overrightarrow{v}}={\overrightarrow{k}}^2\underline{p}$, d'où ${\rho }_0\chi {\omega }^2\underline{p}={\overrightarrow{k}}^2\underline{p}$ et, pour une onde non nulle, ${\overrightarrow{k}}^2={\rho }_0\chi {\omega }^2$. La relation est non dispersive, de célérité

$$c_a=\frac{\omega }{k}=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0\chi }}=\frac{1}{\sqrt{1,00\times 10^3\times 4,10\times 10^{-10}}}\approx 1,56\times 10^3\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1},$$

environ $4,5$ fois la célérité dans l'air (valeur mesurée : $1,5\times 10^3\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ environ). L'onde est longitudinale : $\underline{\overrightarrow{v}}\parallel \overrightarrow{k}$.

Q30. À $180\mathrm{dB}$ : $\left|\underline{p}\right|=p_{\mathrm{ref}}10^{180/20}=10^{-6}\times 10^9=1\times 10^3\mathrm{Pa}$. Alors, d'après Q28 et Q29 (onde plane progressive, $\left|\underline{\overrightarrow{v}}\right|=k\left|\underline{p}\right|/({\rho }_0\omega )=\left|\underline{p}\right|/({\rho }_0{c}_a)$) :