Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 MP — Partie A.I-A.II (Q1 à Q10) : Radar océanographique : loi de Bragg, réflexion sur une mer conductrice parfaite agitée

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Radar côtier HF ( $3$ à $30 MHz$ ) recevant l'onde rétrodiffusée par la mer ; $u_{x}$ vers le large, $u_{y}$ vertical ; $j^{2} = - 1$ .

{Figure 1 — Radar côtier : onde émise (trait plein) et onde rétrodiffusée (tirets).}

I. Modèle optique. Mer = réseau de réflecteurs de période $L$ (longueur d'onde des vagues). Onde plane incidente ( $λ$ , incidence $i$ ) ; onde réfléchie à l'infini selon $θ$ ( $i$ et $θ$ du même côté de la normale).

{Figure 2 — La surface de la mer modélisée par un réseau (éléments réfléchissants grisés).}

Q1. Différence de marche $δ$ entre les ondes réfléchies par deux motifs voisins.
Q2. Justifier sans calcul que l'onde rétrodiffusée est intense pour $L (sin θ + sin i) = p λ$ , $p \in Z$ (relation (1), « loi de Bragg »).

II. Conducteur parfait. Interface d'altitude $h (x)$ . Onde incidente $E_{i} = A e^{j (K_{i} \cdot O M - ω t)} u_{z}$ avec $K_{i} = k_{i} u_{x} - q_{i} u_{y}$ , $k_{i} > 0$ , $q_{i} > 0$ . Eau de mer : $σ = 4 S \cdot m^{- 1}$ , épaisseur d'atténuation $ℓ_{a} = 1/ π μ_{0} σ f$ ; on la traite en conducteur parfait, d'où $E = 0$ au contact de l'interface. Mer plate : $E_{r} = r_{0} A e^{j (K_{0} \cdot O M - ω t)} u_{z}$ , $K_{0} = k_{0} u_{x} + q_{0} u_{y}$ , $q_{0} > 0$ . Mer agitée, à l'ordre $1$ en $ϵ = q h$ ( $∣ ϵ ∣ ≪ 1$ ) : $E_{r} = - A e^{j (k_{i} x + q_{i} y - ω t)} + r_{1} A e^{j (k_{r} x + q_{r} y - ω t)}$ , $r_{1}$ d'ordre $1$ . Vagues sinusoïdales : $h (x) = h_{0} cos (k_{v} x)$ , $k_{v} = 2 π / L$ , dont on ne garde que le terme $\frac{h _{0}}{2} e^{- j k_{v} x}$ .
Q3. Équation de propagation de $E_{i}$ dans l'air (vide) ; relation entre $k_{i}$ , $q_{i}$ , $ω$ .
Q4. Discuter, par des ordres de grandeur, l'approximation du conducteur parfait en bande HF.
Q5. Coefficient $r_{0}$ , $k_{0}$ en fonction de $k_{i}$ ; justifier $q_{0} = q_{i}$ .
Q6. Expression de $O M$ sur l'interface ; montrer que $- 2 j q_{i} h (x) e^{j k_{i} x} + r_{1} e^{j k_{r} x} = 0$ (relation (4)).
Q7. $r_{1}$ en fonction de $q_{i}$ , $h_{0}$ ; $k_{r}$ en fonction de $k_{i}$ , $k_{v}$ ; intérêt de la mesure de $r_{1}$ .
Q8. Retrouver la loi de Bragg (1) ; préciser l'ordre $p$ .
Q9. Radar à quelques mètres de hauteur, mer sondée à des dizaines de kilomètres, écho reçu au point d'émission : hypothèses menant à $L = λ /2$ (5).
Q10. Longueur d'onde des vagues sélectionnées par un radar à $12, 3 MHz$ .

Corrigé

Q1. Considérons deux motifs voisins, en $O$ et en $P$ avec $O P = L u_{x}$ . D'après la figure 2, l'onde incidente se propage selon $u_{i} = sin i u_{x} - cos i u_{y}$ (vers le large et vers le bas) et l'onde réfléchie observée part selon $u_{θ} = - sin θ u_{x} + cos θ u_{y}$ (vers la côte et vers le haut). L'onde incidente étant plane, ses surfaces d'onde sont des plans orthogonaux à $u_{i}$ ; de même, l'observation à l'infini dans la direction $u_{θ}$ revient à comparer les chemins jusqu'à un plan orthogonal à $u_{θ}$ (théorème de Malus-Dupin). Le rayon qui passe par $P$ parcourt donc, par rapport à celui qui passe par $O$ :

à l'aller, le supplément $O P \cdot u_{i} = L sin i$ (projection de $O P$ sur la direction incidente) ;
au retour, le supplément $- O P \cdot u_{θ} = L sin θ$ .

Dans l'air (indice $1$ ), la différence de marche vaut donc

$δ = L (sin i + sin θ) .$

Pour $θ = i$ (rétrodiffusion exacte vers la source), $δ = 2 L sin i$ .

Q2. Tous les motifs sont éclairés par la même onde plane : les ondes qu'ils renvoient sont cohérentes, de même amplitude (motifs identiques), et le déphasage entre deux motifs successifs vaut $φ = 2 π δ / λ$ , le même d'un motif au suivant (progression arithmétique des phases). Le réseau éclairé compte un très grand nombre $N$ de motifs. La somme de $N$ vibrations déphasées deux à deux de $φ$ est quasi nulle, sauf lorsque toutes sont en phase, c'est-à-dire lorsque $φ$ est un multiple de $2 π$ : interférences constructives de toutes les ondes, d'amplitude $N$ fois celle d'un motif (intensité en $N^{2}$ ). Les maxima principaux sont d'autant plus fins que $N$ est grand. La condition s'écrit $δ = p λ$ , soit avec Q1

$\exists p \in Z, L (sin θ + sin i) = p λ,$

qui est la relation (1) : c'est la formule des réseaux, appelée ici loi de Bragg.

Q3. Dans le vide, sans charge ni courant, les équations de Maxwell s'écrivent $div E = 0$ , $rot E = - \partial B / \partial t$ , $div B = 0$ , $rot B = μ_{0} ε_{0} \partial E / \partial t$ . En prenant le rotationnel de Maxwell-Faraday :

$rot (rot E) = grad (div E) - Δ E = - \frac{\partial}{\partial t} rot B = - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}},$

d'où, avec $div E = 0$ et $μ_{0} ε_{0} c^{2} = 1$ , l'équation de d'Alembert

$Δ E_{i} - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E _{i}}{\partial t ^{2}} = 0 .$

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