Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 MP — Partie A.III-A.IV (Q11 à Q17) : Effet Doppler sur les vagues, fréquence de Bragg et mesure des courants de surface

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

III. Effet Doppler. Vague harmonique ( $h_{0}$ , $k_{v}$ , $ω_{v}$ ) progressant à la vitesse $U$ selon $\pm u_{x}$ ( $u_{x}$ vers le large). Rappel (6) : $f_{r} - f \approx \pm 2 U / λ$ pour $U ≪ c$ . Admis : $- 2 j q_{i} h (x, t) e^{j (k_{i} x - ω t)} + r_{1} e^{j (k_{r} x - ω_{r} t)} = 0$ ; pour une vague qui s'éloigne du rivage, on garde $h (x, t) = \frac{h _{0}}{2} e^{- j (k_{v} x - ω_{v} t)}$ .
Q11. Deux expressions réelles de $h (x, t)$ (deux sens de propagation) ; relation entre $U$ , $ω_{v}$ , $k_{v}$ .
Q12. $ω_{r}$ en fonction de $ω$ et $ω_{v}$ ; $k_{r}$ en fonction de $k_{i}$ et $k_{v}$ .
Rétrodiffusion vers le radar : $k_{r} = - ω_{r} / c$ .
Q13. En déduire l'un des deux cas de (6) ; $f_{r}$ pour une vague qui s'approche du rivage.

IV. Courants. Vitesse des vagues : $U = g L / (2 π)$ (7), valable dans le référentiel de l'eau. Courant uniforme $v = v_{x} u_{x}$ : (7) vaut dans le référentiel $R^{'}$ en translation à $v_{x} u_{x}$ par rapport au référentiel terrestre $R$ .
Q14. Montrer que $f_{r} - f = \pm f_{B}$ ; fréquence de Bragg $f_{B}$ en fonction de $g$ et $λ$ .
Q15. Vitesses dans $R$ des vagues qui s'approchent et qui s'éloignent ; montrer que $f_{r} - f = \pm f_{B} + f_{D}$ (8) ; $f_{D}$ en fonction de $v_{x}$ et $c$ .

Figure 3 : spectres reçus ( $f = 12, 3 MHz$ ) par les radars de Pendeen ( $R_{1}$ ) et de Perranporth ( $R_{2}$ ) pour le point $M$ de la figure 4 ; tirets : abscisses $\pm f_{B}$ .

{Figure 3 — Spectres Doppler reçus par les deux radars.}

{Figure 4 — Carte schématisée des courants (flèches : sens ; rouge : $0, 8$ à $1 m \cdot s^{- 1}$ ; ailleurs : $0, 4$ à $0, 6 m \cdot s^{- 1}$ ) ; carré blanc : point $M$ .}

Q16. Valeur expérimentale de $f_{B}$ ; compatibilité avec Q14 par un critère quantitatif ; $v_{x}$ pour chaque radar ; le courant s'approche-t-il ou s'éloigne-t-il de la côte ?

Deux radars d'axes $u_{x 1}$ , $u_{x 2}$ (azimuts $θ_{1} = (u_{E}, u_{x 1}) = 6 4^{\circ}$ , $θ_{2} = (u_{E}, u_{x 2}) = 18 9^{\circ}$ ) mesurent $v_{x 1} = v \cdot u_{x 1}$ et $v_{x 2} = v \cdot u_{x 2}$ ; on admet

$v_{E} = \frac{v _{x 1} sin θ _{2} - v _{x 2} sin θ _{1}}{sin ( θ _{2} - θ _{1} )}, v_{N} = \frac{v _{x 2} cos θ _{1} - v _{x 1} cos θ _{2}}{sin ( θ _{2} - θ _{1} )} .$

Q17. Calculer $v_{E}$ et $v_{N}$ au point $M$ ; cohérence avec la figure 4 (norme et orientation).

Corrigé

Q11. Une onde progressive harmonique se propageant selon $+ u_{x}$ (vague qui s'éloigne du rivage) et une onde se propageant selon $- u_{x}$ (vague qui s'approche du rivage) s'écrivent respectivement

$h_{+} (x, t) = h_{0} cos (ω_{v} t - k_{v} x), h_{-} (x, t) = h_{0} cos (ω_{v} t + k_{v} x) .$

La phase de $h_{+}$ est constante pour $x = (ω_{v} / k_{v}) t + cte$ : la forme se déplace à la vitesse de phase

$U = \frac{ω _{v}}{k _{v}} .$

Q12. Avec $h (x, t) = \frac{h _{0}}{2} e^{- j (k_{v} x - ω_{v} t)}$ , la relation admise s'écrit

$- j q_{i} h_{0} e^{j [(k_{i} - k_{v}) x - (ω - ω_{v}) t]} + r_{1} e^{j (k_{r} x - ω_{r} t)} = 0 \forall x, \forall t .$

Comme en Q7, l'égalité de deux exponentielles pour tout $x$ et pour tout $t$ impose l'égalité des coefficients de $x$ et de $t$ :

$ω_{r} = ω - ω_{v}, k_{r} = k_{i} - k_{v} .$

La pulsation de l'onde réfléchie est décalée de la pulsation de la vague : c'est l'origine de l'effet Doppler.

Q13. En incidence rasante (Q9), l'onde incidente se propage pratiquement selon $+ u_{x}$ : $q_{i} \approx 0$ et, d'après Q3, $k_{i} = ω / c$ . L'onde rétrodiffusée vérifie $k_{r} = - ω_{r} / c$ . La relation sur les vecteurs d'onde de Q12 donne alors

$- \frac{ω _{r}}{c} = \frac{ω}{c} - k_{v} ⟹ k_{v} = \frac{ω + ω _{r}}{c}$

(avec $ω_{r} \approx ω$ , on retrouve $k_{v} \approx 2 ω / c$ , soit $L = λ /2$ : la loi de Bragg (5)). La relation sur les pulsations, avec $ω_{v} = U k_{v}$ (Q11), donne

$ω_{r} = ω - U \frac{ω + ω _{r}}{c} ⟹ ω_{r} = ω \frac{1 - U / c}{1 + U / c} \approx ω (1 - \frac{2 U}{c}),$

au premier ordre en $U / c ≪ 1$ . Avec $λ = c / f$ :

$f_{r} - f \approx - \frac{2 U}{λ} (vague qui s’ e ˊ loigne du rivage) .$

C'est le cas « $-$ » de (6) : une cible qui s'éloigne renvoie une fréquence plus basse.

Pour une vague qui s'approche du rivage, $h = h_{0} cos (ω_{v} t + k_{v} x)$ , et le terme en $e^{- j k_{v} x}$ (le seul qui renvoie l'onde vers le radar, comme en Q7) est $\frac{h _{0}}{2} e^{- j (k_{v} x + ω_{v} t)}$ . Le même calcul donne $ω_{r} = ω + ω_{v}$ et $k_{r} = k_{i} - k_{v}$ , d'où

$ω_{r} = ω + U \frac{ω + ω _{r}}{c} ⟹ ω_{r} = ω \frac{1 + U / c}{1 - U / c}, f_{r} \approx f + \frac{2 U}{λ} = f (1 + \frac{2 U}{c}) .$

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