Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 MP — Partie B.I-B.II (Q18 à Q24) : Détection synchrone, filtre passe-bas, démodulation en quadrature et radar à modulation de fréquence

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

I. Différence de fréquence. Signaux $v_{1} (t) = A cos (2 π f_{1} t)$ et $v_{2} (t) = B cos (2 π f_{2} t + φ_{0})$ , avec $∣ f_{2} - f_{1} ∣ ≪ f_{1}, f_{2}$ . Montage de détection synchrone (figure 5) : multiplieur analogique $M$ (sortie proportionnelle au produit des entrées) suivi d'un filtre $F$ . Jusqu'à Q20, seule la voie du haut est utilisée.

{Figure 5 — Détection synchrone ; la voie en quadrature (fond gris) ne sert qu'à partir de Q21.}

Q18. Expression de $v_{i}$ (à un facteur près) ; fréquences de son spectre ; type de filtrage donnant $v_{d}$ de fréquence $∣ f_{2} - f_{1} ∣$ .
Q19. (initiative) Schéma d'un filtre passif convenable pour $F$ (ordre $2$ valorisé), avec des composants de lycée (ultrasons, $\sim 1 0^{4} Hz$ ).
Q20. (initiative) Fonction de transfert ; valeurs réalistes des composants pour $f_{1} \approx f_{2} \approx 40 kHz$ .
Voie du bas : $v_{1}$ est déphasé de $+ π /2$ avant multiplication par $v_{2}$ (démodulation en quadrature).
Q21. Filtrage idéal : expression de $v_{d Q}$ ; comment l'observer avec $v_{d}$ pour obtenir le signe de $f_{2} - f_{1}$ .

II. Modulation de fréquence. Tension émise, $T_{m}$ -périodique : pour $t \in [0, T_{m} [$ , $v_{e} (t) = A cos Φ (t)$ avec $Φ (t) = 2 π (f_{0} + \frac{B t}{2 T _{m}}) t$ , où la largeur de bande $B ≪ f_{0}$ , $f_{0} \sim 10 MHz$ et $T_{m}$ vaut quelques dixièmes de seconde. Fréquence instantanée : $f (t) = \frac{1}{2 π} \frac{d Φ}{d t}$ . Cible immobile à la distance $d$ ; l'écho $v_{r} (t)$ a, à l'instant $t$ , la fréquence $f_{r} (t) = f (t - τ)$ .
Q22. Expression de $f (t)$ ; allure sur deux périodes.
Q23. Expression de $τ$ ; vérifier $τ ≪ T_{m}$ pour $d = 10 km$ ; tracer $f (t)$ et $f_{r} (t)$ sur un même graphique (avec $τ = T_{m} /10$ pour ce seul tracé).
$v_{e}$ et $v_{r}$ sont envoyés dans le montage de la figure 5.
Q24. Fréquence $f_{d}$ du signal démodulé $v_{d}$ ; en déduire $d$ en fonction de $c$ , $B$ et $T_{m}$ .

Corrigé

Q18. Le multiplieur délivre $v_{i} = K v_{1} v_{2}$ ( $K$ constante, en $V^{- 1}$ ). Avec $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a + b) + cos (a - b)]$ :

$v_{i} (t) = \frac{K A B}{2} [cos (2 π (f_{2} + f_{1}) t + φ_{0}) + cos (2 π (f_{2} - f_{1}) t + φ_{0})] .$

C'est une somme de deux sinusoïdes de fréquences $f_{2} + f_{1}$ et $∣ f_{2} - f_{1} ∣$ (le cosinus étant pair, le second terme a la fréquence $∣ f_{2} - f_{1} ∣$ quel que soit le signe de $f_{2} - f_{1}$ ) : le spectre de $v_{i}$ comporte ces deux raies, de même amplitude $K A B /2$ . Comme $∣ f_{2} - f_{1} ∣ ≪ f_{2} + f_{1} \approx 2 f_{1}$ , un filtre passe-bas de fréquence de coupure $f_{c}$ telle que $∣ f_{2} - f_{1} ∣ < f_{c} ≪ f_{1} + f_{2}$ conserve la composante basse fréquence et élimine l'autre : $v_{d} = \frac{K A B}{2} cos (2 π (f_{2} - f_{1}) t + φ_{0})$ (gain unité en basse fréquence).

Q19. On choisit un passe-bas passif du deuxième ordre : circuit $R L C$ série attaqué par $v_{i}$ , la sortie $v_{d}$ étant prise aux bornes du condensateur (filtre d'ordre $1$ plus simple : supprimer la bobine, circuit $R C$ avec sortie aux bornes de $C$ ).

Qualitativement : à basse fréquence, la bobine est un fil et le condensateur un interrupteur ouvert, donc $v_{d} = v_{i}$ ; à haute fréquence, la bobine est un interrupteur ouvert et le condensateur un fil, donc $v_{d} \to 0$ . C'est bien un passe-bas. La sortie doit être lue par un appareil de grande impédance d'entrée (oscilloscope, ou suiveur à ALI), pour que le filtre fonctionne à vide.

Q20. En régime sinusoïdal forcé, à vide, le diviseur de tension donne

$H (j ω) = \frac{v _{d}}{v _{i}} = \frac{1/ ( j C ω )}{R + j L ω + 1/ ( j C ω )} = \frac{1}{1 - L C ω ^{2} + j R C ω} = \frac{1}{1 - x ^{2} + j x / Q},$

avec $x = ω / ω_{0}$ , la pulsation propre $ω_{0} = 1/ L C$ et le facteur de qualité $Q = \frac{1}{R} L / C$ . Gain : $∣ H ∣ \to 1$ si $x ≪ 1$ , $∣ H ∣ \approx 1/ x^{2}$ si $x ≫ 1$ (pente de $- 40 dB$ par décade).

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