Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 MP — Partie B.III (Q25 à Q30) : Échantillonnage et TFD : repliement, résolution spectrale, résolutions en vitesse et en distance

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le signal démodulé $v_{d}$ , bruité, est échantillonné puis analysé par transformée de Fourier discrète (TFD). On prélève $N_{e}$ échantillons $v_{n} = v (n T_{e})$ , $n \in {0, \dots, N_{e} - 1}$ ; la TFD fournit $N_{e}$ valeurs $∣ S (f_{k}) ∣$ aux fréquences $f_{k} = k / (N_{e} T_{e})$ . Résolution spectrale : plus petit écart $∣ f_{2} - f_{1} ∣$ permettant de séparer deux composantes ; elle s'identifie à la précision $δ f$ de l'échelle des fréquences.

III.1. TFD.
Q25. Le repliement de spectre : en quoi il consiste, comment s'en prémunir.
Exemple (figure 6) : $v (t) = A cos (2 π f_{1} t) + A cos (2 π f_{2} t) + ϵ (t)$ , $A = 2 V$ , $f_{1} = 150 Hz$ , $f_{2} = 160 Hz$ , bruit $∣ ϵ ∣ < 0, 1 V$ . À gauche $N_{e} = 100$ , $T_{e} = 2 ms$ ; à droite $N_{e} = 100$ , $T_{e} = 0, 5 ms$ (tracé limité à $250 Hz$ ).

{Figure 6 — TFD du signal $v (t)$ : $T_{e} = 2 ms$ (à gauche), $T_{e} = 0, 5 ms$ (à droite), $N_{e} = 100$ dans les deux cas.}

Q26. Commenter les deux spectres ; exprimer $δ f$ en fonction de $N_{e}$ et $T_{e}$ ; valeurs numériques.

III.2. Vitesse. Un échantillon de $v_{d}$ par rampe de durée $T_{m}$ , répété $N$ fois (durée $T_{a} = N T_{m}$ ). Radar WERA : $f = 29, 85 MHz$ , $f_{B} = 0, 56 Hz$ , $T_{m} = 0, 262 s$ , $B = 125 kHz$ .
Q27. Fréquence maximale accessible dans le spectre de $f_{r} - f$ ; valeur maximale de $f_{D}$ et vitesse $v_{x}$ maximale associée (Q15).
Q28. Pour $N = 4096$ : résolution spectrale sur $f - f_{r}$ ; résolution $Δ v_{x}$ .

III.3. Distance. $M$ échantillons équidistants de $v_{d}$ acquis pendant une seule rampe de durée $T_{m} = 0, 262 s$ .
Q29. Valeur maximale $f_{d m a x}$ de $f_{d}$ accessible ; valeur de $M$ compatible avec une portée $d_{m a x} = 50 km$ (Q24).
Q30. Résolution spectrale sur $f_{d}$ ; résolution en distance $Δ d$ (le constructeur propose $0, 3$ , $0, 6$ et $1, 2 km$ ).

Corrigé

Q25. Échantillonner à la fréquence $f_{e} = 1/ T_{e}$ , c'est ne connaître le signal qu'aux instants $n T_{e}$ . Deux sinusoïdes de fréquences $f$ et $f^{'} = ∣ f - k f_{e} ∣$ ( $k \in Z$ ) prennent alors exactement les mêmes valeurs aux instants d'échantillonnage : $cos (2 π f^{'} n T_{e}) = cos (2 π f n T_{e} - 2 π k n) = cos (2 π f n T_{e})$ . Le spectre du signal échantillonné est donc périodique de période $f_{e}$ (et symétrique), et une composante de fréquence $f > f_{e} /2$ apparaît dans la bande $[0, f_{e} /2]$ à la fréquence « repliée » $∣ f - k f_{e} ∣$ , où elle est indiscernable d'une vraie composante : c'est le repliement de spectre. Pour s'en prémunir, on respecte le critère de Nyquist-Shannon

$f_{e} > 2 f_{m a x},$

où $f_{m a x}$ est la plus haute fréquence présente dans le signal, et l'on place avant l'échantillonneur un filtre analogique passe-bas anti-repliement, de fréquence de coupure inférieure à $f_{e} /2$ , qui élimine les composantes (bruit compris) au-delà de $f_{e} /2$ .

Q26. Spectre de gauche ( $N_{e} = 100$ , $T_{e} = 2 ms$ ) : $f_{e} = 500 Hz$ , durée d'acquisition $N_{e} T_{e} = 0, 2 s$ . Le critère de Shannon est respecté ( $160 Hz < f_{e} /2 = 250 Hz$ , qui est d'ailleurs la limite du tracé). Les fréquences $f_{k}$ sont espacées de $5 Hz$ ; $150$ et $160 Hz$ sont exactement des fréquences de la grille ( $k = 30$ et $k = 32$ ) : on observe deux raies séparées, de hauteur $\approx 2 V = A$ , avec entre elles un point quasi nul à $155 Hz$ . Le bruit forme un plancher d'environ $0, 05 V$ , réparti sur toutes les fréquences. Les deux composantes sont parfaitement résolues, et leurs amplitudes correctement mesurées.

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →