Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 MPI — Problème A, partie I.1 (Q1 à Q4) : Microphone électrostatique : champ, capacité variable, courant et force entre armatures

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 1 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Deux électrodes planes de même surface $S$ , de normale $u_{x}$ , dans le vide. L'électrode fixe, en $x = d$ , est au potentiel nul et porte la charge $- Q (t)$ ; la membrane mobile, en $x = 0$ au repos et en $x = X (t)$ sous l'effet de l'onde sonore, est maintenue au potentiel constant $V_{0}$ par un générateur et porte $+ Q (t)$ . Le courant $i$ du générateur est nul en l'absence de son. Charges réparties uniformément sur les faces en regard (effets de bord négligés).

{ Figure 1 — Principe d'un microphone électrostatique.}

Q1. Champ $E_{1}$ créé par la seule armature mobile (charge $+ Q$ ), de part et d'autre de celle-ci.
Q2. Champ $E_{2}$ de l'armature fixe ; potentiel entre les armatures ; capacité $C (t)$ en fonction de $ε_{0}$ , $S$ , $d$ , $X (t)$ .
Q3. La membrane se déplaçant à la vitesse $v = \frac{d X}{d t} u_{x}$ , montrer que $i (t) = K (X) \frac{d X}{d t}$ et exprimer $K (X)$ .

On note $F_{e} = F_{e} (X) u_{x}$ la résultante des forces électriques sur la membrane.

Q4. Exprimer $F_{e} (X)$ en fonction de $ε_{0}$ , $S$ , $V_{0}$ , $X$ , $d$ ; montrer que la force est conservative et relier son énergie potentielle $E_{p} (X)$ à l'énergie électrostatique $W_{e} (X)$ du condensateur.

Corrigé

Q1. Modèle. Effets de bord négligés : l'armature mobile est assimilée à un plan infini, en $x = X$ , de densité surfacique uniforme $σ = Q / S$ .

Symétries. Tout plan contenant un point $M$ et perpendiculaire à l'armature est plan de symétrie de la distribution : $E_{1} (M)$ appartient à l'intersection de ces plans, $E_{1} = E_{1} u_{x}$ . Invariances par toute translation parallèle au plan : $E_{1}$ ne dépend que de $x$ . Le plan $x = X$ est lui-même plan de symétrie : $E_{1} (X + a) = - E_{1} (X - a)$ .

Théorème de Gauss sur un cylindre droit d'axe $(O x)$ , de section $Σ$ , dont les bases sont aux abscisses symétriques $X - a$ et $X + a$ : le flux latéral est nul ( $E_{1}$ parallèle à la surface), chaque base contribue pour $E_{1} (X + a) Σ$ (normale sortante et champ changent de sens ensemble), et la charge intérieure vaut $σ Σ$ :

$2 E_{1} (X + a) Σ = \frac{σ Σ}{ε _{0}},$

$E_{1} = + \frac{Q}{2 ε _{0} S} u_{x} (x > X), E_{1} = - \frac{Q}{2 ε _{0} S} u_{x} (x < X)$

Champ uniforme de chaque côté, dirigé vers l'extérieur de la plaque positive, discontinu de $σ / ε_{0}$ à sa traversée.

Q2. Même raisonnement pour l'armature fixe, plan $x = d$ de densité $- σ$ : le champ pointe vers elle,

$E_{2} = + \frac{Q}{2 ε _{0} S} u_{x} (x < d), E_{2} = - \frac{Q}{2 ε _{0} S} u_{x} (x > d) .$

Par superposition, $E = E_{1} + E_{2}$ est nul hors des armatures et vaut, entre elles ( $X < x < d$ ),

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