Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 MPI — Problème A, partie I.2 (Q5 à Q8) : Directivité d'un microphone canon : interférences à deux puis quatre ondes

Devant la membrane M, un tube d'axe $(Ox)$ est percé d'orifices régulièrement espacés de $d$ (figure 3, $N=4$). Une onde sonore plane, harmonique de fréquence $f\in [100\mathrm{Hz},5\mathrm{kHz}]$ et de célérité $c_a$, arrive d'une direction lointaine faisant l'angle $\theta$ avec $(Ox)$ ; après diffraction par chaque orifice, elle se propage exactement le long de l'axe jusqu'à M (largeur du tube négligée). Les $N$ ondes arrivent en M avec la même amplitude $p_0$ ; signal reçu ${\underline{p}}_{\text{tot}}={\sum }_{k=1}^N{\underline{p}}_k$, intensité $I_{\text{tot}}={\left|{\underline{p}}_{\text{tot}}\right|}^2$, et $I_0=p_0^2$. Diffraction et interférences acoustiques suivent les mêmes lois qu'en optique (théorème de Malus compris). La figure 2 est une photographie d'un microphone canon : un long tube fin monté devant la capsule.

{ Figure 3 — Microphone à tube à interférences.}

Q5. ($N=2$) Montrer que ${\underline{p}}_2={\underline{p}}_1{\mathrm{e}}^{-j\phi }$ en M et exprimer $\phi$ en fonction de $c_a$, $f$, $d$, $\theta$.
Q6. Établir $I_{\text{tot}}=I_0{f}_2(\phi )$ ; expliciter et commenter $f_2$.
Q7. ($N=4$) Montrer que $I_{\text{tot}}=I_0{f}_2(\phi )f_2(2\phi )$ ; période $\psi$ en $\phi$ et valeur maximale $I_{\max }$ ; commenter.

{ Figure 4 — Tracé de $I_4(\phi )$ (grands carreaux : $\psi /6$ en abscisse ; quatre grands carreaux entre $0$ et le maximum).}

Un signal n'est significatif que si son intensité atteint au moins $20\%$ de $I_{\max }$.

Q8. Montrer que le microphone sélectionne les ondes venant d'un cône étroit d'axe $(Ox)$, de demi-angle ${\theta }_{\max }$ à exprimer (notamment en fonction de $c_a$, $f$, $d$). Comment choisir $d$ pour que ${\theta }_{\max }<5^{\circ }$ ? Commenter.