Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 MPI — Problème A, partie II (Q9 à Q11) : Oreille interne : propagation dispersive dans la cochlée et lieu de résonance

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 1 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La cochlée est modélisée par un tube d'axe $(O x)$ , de diamètre variable, contenant les terminaisons du nerf auditif, sensibles à des fréquences différentes selon leur position $x$ . Une onde acoustique s'y propage selon $(O x)$ avec la relation de dispersion

$k^{2} (x) = \frac{k _{0}^{2} ω ^{2}}{ω _{r}^{2} ( x ) - ω ^{2}},$

où $k_{0} > 0$ est une constante et $ω_{r} (x) > 0$ une fonction monotone. L'onde de pulsation $ω$ entre en $x = 0$ et se propage jusqu'en $x = x_{r}$ , où elle est absorbée et détectée.

Q9. Condition de propagation en un point $x \in [0, x_{r}]$ ; en déduire que $ω_{r} (x)$ est décroissante ; relier $ω$ à $ω_{r} (x_{r})$ .

Pour $x < x_{r}$ , on cherche l'onde sous la forme $p (x, t) = A (x) e^{j (ω t - φ (x))}$ , avec $A (x) > 0$ et $φ (x)$ réelles, solution de $\frac{\partial ^{2} p}{\partial x ^{2}} = - k^{2} (x) p$ .

Q10. Établir deux équations différentielles vérifiées par $φ$ et $A$ ; en déduire $A (x) = H / φ^{'} (x)$ ( $H$ constante d'intégration) ; justifier le signe de $φ^{'}$ .
Q11. Sens de variation de $A (x)$ et de $k (x)$ ; allure de l'onde de pression (réelle) le long de $(O x)$ .

Corrigé

Q9. Condition de propagation. Une onde progressive n'existe en $x$ que si $k$ est réel : $k^{2} (x) > 0$ . Le numérateur $k_{0}^{2} ω^{2}$ étant positif, il faut

$ω_{r} (x) > ω pour tout x \in [0, x_{r} [$

Si au contraire $ω_{r} (x) < ω$ , alors $k^{2} < 0$ , $k$ est imaginaire pur et l'onde est évanescente (amplitude exponentiellement décroissante, pas de propagation) : c'est l'analogue de la coupure d'un plasma en dessous de la pulsation plasma.

Point d'absorption. Quand $x \to x_{r}$ par valeurs inférieures, la propagation cesse : $ω_{r} (x)$ tend vers $ω$ par valeurs supérieures, et $k^{2} \to + \infty$ . Par continuité de $ω_{r}$ ,

$ω = ω_{r} (x_{r})$

Le point $x_{r}$ est le lieu de résonance : la longueur d'onde locale $2 π / k$ tend vers zéro, l'onde « s'accumule » et y est absorbée (par les pertes, absentes du modèle).

Monotonie. $ω_{r}$ est monotone, avec $ω_{r} (0) > ω = ω_{r} (x_{r})$ : elle ne peut être que décroissante. (Croissante, elle vérifierait $ω_{r} (x) \leq ω_{r} (x_{r}) = ω$ pour tout $x < x_{r}$ , et l'onde ne pourrait pas se propager depuis l'entrée.) Conséquence physiologique : les sons aigus (grand $ω$ ) sont détectés près de l'entrée de la cochlée, les graves loin de l'entrée — chaque fréquence a « sa » position, ce qui permet l'analyse spectrale du son par l'oreille.

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