Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 MPI — Problème B, partie I (Q12 à Q18) : Haut-parleur électrodynamique : couplage électromécanique, bilan de puissance et impédance

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 1 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les pièces polaires d'un aimant permanent sont deux cylindres coaxiaux d'axe $(O z)$ : le cylindre central est le pôle nord, le cylindre externe le pôle sud ; entre eux, le champ $B_{0} = B_{0} u_{r}$ est radial, dirigé vers l'extérieur, $B_{0}$ constant. Une bobine de $N$ spires quasi circulaires, pratiquement jointives, de rayon $r$ , parcourues par le courant $i$ , entoure le cylindre central (base locale $(u_{r}, u_{θ}, u_{z})$ ). Une spire seule a la résistance $R_{1}$ et l'inductance propre $L_{1}$ .

{ Figure 5 — Une spire du haut-parleur électrodynamique : coupe transversale ( $u_{z}$ vers le lecteur) et vue en perspective.}

Q12. Résistance totale $R_{b}$ et inductance totale $L_{b}$ de la bobine en fonction de $R_{1}$ , $L_{1}$ , $N$ .

Les spires se déplacent selon $(O z)$ à la vitesse $v = \frac{d z}{d t} u_{z}$ , en restant dans le champ $B_{0}$ .

{ Figure 6 — Une surface (cylindre $(C)$ fermé hors de l'aimant) appuyée sur l'une des spires mobiles.}

Q13. Montrer que la f.é.m. induite dans les $N$ spires est $e = 2 π r N B_{0} \frac{d z}{d t}$ (flux $Φ$ à travers le cylindre $(C)$ , refermé là où le champ est négligeable).
Q14. Résultante $F$ des forces électromagnétiques sur les $N$ spires ; exprimer $F \cdot v$ en fonction de $e$ ; interpréter.

Modèle (figure 7) : bobine solidaire d'une membrane, ensemble mobile de masse $M$ , rappelé vers $z = 0$ par un ressort équivalent de raideur $K$ ; frottement de l'air $f = - λ v$ (lié à l'émission sonore) ; poids négligé ; bobine alimentée par un générateur de tension $E (t)$ .

{ Figure 7 — Un modèle de haut-parleur électrodynamique.}

Q15. Montrer que $z ¨ + \frac{ω _{0}}{Q _{m}} z ˙ + ω_{0}^{2} z = - β i$ ; exprimer $ω_{0}$ , $Q_{m}$ , $β$ en fonction de $K$ , $M$ , $λ$ , $r$ , $N$ , $B_{0}$ .
Q16. Circuit électrique équivalent ; établir $E (t) = R_{b} i + L_{b} \frac{d i}{d t} - γ \frac{d z}{d t}$ , $γ$ fonction de $r$ , $N$ , $B_{0}$ .
Q17. Avec $P_{G} = E i$ , $E_{c} = \frac{1}{2} M z ˙^{2}$ , $E_{e} = \frac{1}{2} K z^{2}$ , $E_{m} = \frac{1}{2} L_{b} i^{2}$ : bilan énergétique, puissance $P_{a}$ cédée à l'air.
Q18. En régime harmonique ( $E = E_{0} e^{j ω t}$ , $i = I_{0} e^{j ω t}$ ), impédance $Z_{m} = E_{0} / I_{0}$ en fonction de $ω$ , $R_{b}$ , $L_{b}$ , $ω_{0}$ , $Q_{m}$ , $β$ , $γ$ ; limite à très basse fréquence.

Corrigé

Q12. Les $N$ spires sont parcourues par le même courant : elles sont en série, les résistances s'ajoutent,

$R_{b} = N R_{1}$

Inductance. Les spires étant pratiquement jointives et de même rayon, le champ créé par l'une traverse toutes les autres comme elle-même : l'inductance mutuelle de deux spires quelconques vaut $M_{k l} ≃ L_{1}$ (couplage parfait). Le flux propre total à travers les $N$ spires est $Φ_{p} = \sum_{k} \sum_{l} M_{k l} i = N^{2} L_{1} i$ , d'où

$L_{b} = N^{2} L_{1}$

Ce que le correcteur attend : $L_{b} = N^{2} L_{1}$ et non $N L_{1}$ (qui supposerait des spires sans influence mutuelle) : le champ propre est proportionnel à $N$ et il traverse $N$ spires.

Q13. Orientation. On oriente chaque spire dans le sens de $i$ , c'est-à-dire de $u_{θ}$ (figure 5) ; sa normale orientée est alors $+ u_{z}$ (règle de la main droite), et la f.é.m. $e$ est comptée dans le sens de $i$ . Seul le champ de l'aimant $B_{0}$ intervient ici : le flux propre de la bobine est pris en compte par $L_{b}$ (Q16).

Flux à travers une spire. Le champ magnétique est à flux conservatif ( $div B = 0$ ) : son flux à travers une surface fermée est nul. Appliquons-le à la surface fermée formée du disque plan de la spire (en $z (t)$ ) et du cylindre $(C)$ de rayon $r$ qui s'étend vers les $z$ croissants et se referme hors de l'aimant par un disque où $B ≃ 0$ (figure 6). Avec les normales sortantes ( $- u_{z}$ sur le disque de la spire, $n = u_{r}$ sur la surface latérale), le flux à travers la spire, orientée par $+ u_{z}$ , est égal au flux sortant par $(C)$ :

$Φ_{1} = \iint_{(C)} B \cdot n d S = B_{0} \cdot 2 π r (z_{e} - z (t)),$

où $z_{e}$ est la cote où le cylindre sort de l'entrefer : seule la portion de surface latérale située dans l'entrefer, entre $z (t)$ et $z_{e}$ , est traversée par le champ radial $B_{0} u_{r}$ , normal à la paroi ; le disque de fermeture ne reçoit aucun flux.

Loi de Faraday. Pour une spire, $e_{1} = - \frac{d Φ _{1}}{d t} = 2 π r B_{0} \frac{d z}{d t}$ . Les $N$ spires, en série et animées de la même vitesse, donnent

$e = 2 π r N B_{0} \frac{d z}{d t}$

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