Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 MPI — Problème B, partie II.3 (Q24 à Q29) : Décalage temporel entre graves et aigus : retard de groupe des filtres, calcul numérique, propagation

Q24. Dans une installation domestique, la différence de longueur des câbles est au plus de quelques mètres ; prenons largement $\Delta \ell =10\mathrm{m}$. Le signal électrique s'y propage à une célérité $c^{\prime }$ proche de $c$ (de l'ordre de $2\times 10^8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ dans un câble usuel) :

$$\Delta t_0=\frac{\Delta \ell }{c^{\prime }}\lesssim \frac{10}{2\times 10^8}=5\times 10^{-8}\mathrm{s}=50\mathrm{ns},$$

plus de mille fois inférieur au seuil de $0,1\mathrm{ms}$. Pour atteindre ce seuil, il faudrait $\Delta \ell =c\times 10^{-4}\mathrm{s}=30\mathrm{km}$ de câble supplémentaire : $\Delta t_0$ est toujours négligeable.

Q25. Retard de groupe. Un son réel n'est pas une sinusoïde infinie : c'est un signal de pulsation voisine de ${\omega }_0$ dont l'enveloppe varie lentement (attaque d'une note), $e(t)=\mathrm{Re}[a(t){\mathrm{e}}^{j{\omega }_{0}t}]$, de spectre étroit autour de ${\omega }_0$. Sur ce spectre, on développe la fonction de transfert au premier ordre (le gain variant peu) :

$${\underline{H}}_k(\omega )\simeq G_k({\omega }_0){\mathrm{e}}^{j[{\phi }_k({\omega }_0)+{{\rm Y}}_k(\omega -{\omega }_0)]}.$$

Chaque composante spectrale ${\mathrm{e}}^{j\omega t}$ devient $G_k{\mathrm{e}}^{j({\phi }_k({\omega }_0)-{{\rm Y}}_k{\omega }_0)}{\mathrm{e}}^{j\omega (t+{{\rm Y}}_k)}$ ; par linéarité, la sortie est

$$s_k(t)=G_k\mathrm{Re}[a(t+{{\rm Y}}_k){\mathrm{e}}^{j({\omega }_{0}t+{\phi }_k({\omega }_0))}]:$$

l'enveloppe, que l'oreille perçoit, est retardée de ${\tau }_k=-{{\rm Y}}_k$ (temps de propagation de groupe ; ${{\rm Y}}_k<0$ pour un filtre réel). Le décalage entre graves et aigus est donc

$$\boxed{\Delta t_1={\tau }_g-{\tau }_a={{\rm Y}}_a-{{\rm Y}}_g}$$

(${\omega }_0$ n'intervient pas.) Cas idéal : ${\underline{H}}_a=(jx{)}^3{\underline{H}}_g$ et $(jx{)}^3=x^3{\mathrm{e}}^{-j\pi /2}$, donc ${\phi }_a={\phi }_g-\pi /2$ (modulo $2\pi$) pour toute pulsation : ${{\rm Y}}_a={{\rm Y}}_g$ et $\Delta t_1=0$. Chaque filtre retarde le son, de $\tau =\frac{5}{2{\omega }_0}\simeq 0,40\mathrm{ms}$ en $f_0$ (calcul ci-dessous), mais les deux du même retard. Le déphasage constant $-\pi /2$ entre les deux voies ne décale pas les enveloppes : ce n'est pas un retard.

Calcul du retard en $f_0$. ${\phi }_g=-\arg \underline{D}$ avec $\underline{D}(x)=1-2x^2+j(2x-x^3)$ ; $\frac{\mathrm{d}\arg \underline{D}}{\mathrm{d}x}=\mathrm{Im}\frac{{\underline{D}}^{\prime }}{\underline{D}}$, et en $x=1$ : $\underline{D}=-1+j$, ${\underline{D}}^{\prime }=-4-j$, $\frac{{\underline{D}}^{\prime }}{\underline{D}}=\frac{3+5j}{2}$, d'où ${{\rm Y}}_g=-\frac{5}{2{\omega }_0}$.

Q26. CalcH calcule la fonction de transfert $\underline{H}={\underline{u}}_s/{\underline{u}}_e$ d'un filtre en T : impédance série $Z_1$, impédance en dérivation $Z_2$, impédance série $Z_3$, chargé par le haut-parleur $R$ (générateur idéal de tension). Raisonnement par ponts diviseurs de tension, en sortie ouverte au-delà de $R$ :