Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 MPI — Problème B, parties II.1 et II.2 (Q19 à Q23) : Woofer et tweeter : ordres de grandeur et filtres de Butterworth d'ordre 2 et 3

Un dispositif comporte un haut-parleur de graves (woofer) et un haut-parleur d'aigus (tweeter) ; le diamètre d'une membrane est grossièrement une demi-longueur d'onde du son qu'elle produit préférentiellement. Électriquement, chaque haut-parleur est une résistance $R_b$. Célérité du son : $c_a\simeq 345\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

Q19. Estimer les diamètres du woofer et du tweeter si la limite graves/aigus est vers $f_c=1\mathrm{kHz}$.

Puissance maximale de chaque haut-parleur : environ $80\mathrm{W}$ ; amplificateur de $20\mathrm{Hz}$ à $20\mathrm{kHz}$, tension efficace maximale $20\mathrm{V}$. Les filtres (passe-haut, passe-bas) sont faits de bobines et de condensateurs ; à $f_c$, les impédances des bobines, condensateurs et haut-parleurs doivent être comparables.

Q20. Estimer $R_b$, $L$ et $C$.

Filtres de Butterworth d'ordre $n$, avec $f_0={\omega }_0/2\pi =1,0\mathrm{kHz}$ et $x=\omega /{\omega }_0$ :

$${\left|{\underline{H}}_1\right|}^2=\frac{1}{1+x^{2n}},{\left|{\underline{H}}_2\right|}^2=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}.(1)$$

    

{ Figure 8 — Les filtres utilisés.}

Q21. Sans calcul, associer chaque circuit à ${\underline{H}}_1$ ou ${\underline{H}}_2$, et au tweeter ou au woofer ; ordre $n$ maximal envisageable.

Filtres passe-bas d'ordre 2 ou 3 ($\alpha$, ${\alpha }_1^{\prime }$, ${\alpha }_2^{\prime }$ réels positifs) :

$${\underline{B}}_2(jx)=\frac{1}{1+\alpha (jx)-x^2},{\underline{B}}_3(jx)=\frac{1}{1+{\alpha }_1^{\prime }(jx)+{\alpha }_2^{\prime }(jx{)}^2-j{x}^3}.(2)$$

Q22. Exprimer ${\left|{\underline{B}}_2\right|}^2$ ; condition pour un Butterworth d'ordre 2.
Q23. Coefficients faisant de ${\underline{B}}_3$ un Butterworth d'ordre 3.