Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 MPI — Problème C, partie II (Q39 à Q40) : Disque microsillon : longueur du sillon, fréquence maximale gravable et durée Hi-Fi

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 1 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un disque microsillon « LP » tourne à $33$ tours par minute (vitesse angulaire $ω$ ). Il porte un unique sillon en spirale entre les rayons $r_{1} = 5 cm$ et $r_{2} = 15 cm$ ; la durée de l'enregistrement est $Δ t = 23 min$ . On note $e$ la distance entre deux passages adjacents du sillon (figure 13, où le sillon ne fait que $5$ tours, bien moins qu'en réalité).

{ Figure 13 — Géométrie d'un disque vinyle microsillon LP.}

Q39. Estimer, en fonction de $r_{1}$ , $r_{2}$ , $Δ t$ et $ω$ , la longueur totale $L$ du sillon et la distance $e$ ; calculer $L$ et $e$ .

On ne peut pas graver un signal dont la longueur sur le sillon est inférieure à $ℓ_{m i n} = 20 μ m$ .

Q40. Fréquence maximale enregistrable près du centre, puis au bord du disque ; durée maximale d'un morceau enregistré aux normes Hi-Fi ( $20 Hz$ à $20 kHz$ ).

Corrigé

Q39. Hypothèses. Le disque tourne à vitesse angulaire constante $ω = 33 \times \frac{2 π}{60} = 3, 46 rad \cdot s^{- 1}$ pendant toute la lecture, et le sillon est une spirale régulière : sa distance au centre varie de $e$ à chaque tour, uniformément.

Nombre de tours. Pendant $Δ t$ , le disque fait $n = \frac{ω Δ t}{2 π}$ tours, et le sillon en fait autant entre $r_{2}$ et $r_{1}$ :

$n = \frac{ω Δ t}{2 π} = \frac{33}{60} \times 23 \times 60 = 759 tours .$

Pas de la spirale. Les $n$ tours se répartissent sur la couronne de largeur $r_{2} - r_{1}$ :

$e = \frac{r _{2} - r _{1}}{n} = \frac{2 π ( r _{2} - r _{1} )}{ω Δ t} e = \frac{0 , 10 m}{759} = 1, 3 \times 1 0^{- 4} m = 0, 13 mm .$

Longueur. Comme $e ≪ r_{1}$ , chaque tour est presque un cercle ; les rayons des tours sont répartis uniformément entre $r_{1}$ et $r_{2}$ , de valeur moyenne $\frac{r _{1} + r _{2}}{2}$ . La longueur totale est donc

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