Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 PSI — Partie A (Q1 à Q10) : Chambre de combustion de la turbine à gaz : PCI du méthane, excès d'air, température de sortie

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Centrale DK6 : deux tranches identiques (figure 1). Les gaz sortant de la turbine à gaz brûlent les fumées sidérurgiques dans la chaudière, puis vaporisent l'eau du circuit des turbines à vapeur.

Figure 1 — Une tranche de production (schéma simplifié).

Données.

Gaz naturel assimilé à $CH X_{4}$ ; air comprimé, de débit $D_{m, ai r}$ réglable, composé (en moles) de $4/5$ de $N X_{2}$ et $1/5$ de $O X_{2}$ ; tous deux entrent à $12 bar$ et $T_{0}$ . Réacteur calorifugé, combustion continue, stationnaire, isobare. Aubes protégées jusqu'à $160 0^{\circ} C$ ; au-dessus de $130 0^{\circ} C$ , formation d'oxydes d'azote $NO_{x}$ .

à $298 K$	$CH X_{4} (g)$	$CO X_{2} (g)$	$O X_{2} (g)$	$H X_{2} O (g)$	$N X_{2} (g)$	$CO (g)$
$Δ_{f} H^{\circ}$ ( $kJ \cdot mo l^{- 1}$ )	$- 74, 9$	$- 393, 5$		$- 241, 8$
$S_{m}^{\circ}$ ( $J \cdot K^{- 1} \cdot mo l^{- 1}$ )	$186, 2$	$213, 8$	$205, 0$	$188, 7$
$C_{p m}$ ( $J \cdot K^{- 1} \cdot mo l^{- 1}$ )	$35, 7$	$37, 1$	$29, 4$	$33, 6$	$29, 1$	$29, 1$

$D_{m, g n}$	$T_{0}$	$R$	$M (H)$ , $M (C)$ , $M (N)$ , $M (O)$
$9, 66 kg \cdot s^{- 1}$	$298 K$	$8, 31 J \cdot K^{- 1} \cdot mo l^{- 1}$	$1, 0$ ; $12, 0$ ; $14, 0$ ; $16, 0 g \cdot mo l^{- 1}$

Q1. Équation de combustion de $CH X_{4}$ (produits gazeux) ; caractère quantitatif à $298 K$ ; pouvoir calorifique inférieur $q_{g n}$ (énergie libérée par kilogramme de méthane).
Q2. Débit d'air stœchiométrique $D_{m 0}$ et puissance thermique libérée $P_{t h 0}$ .
Q3. Bilan d'enthalpie détaillé : température de sortie des gaz pour $D_{m 0}$ en fonction de $q_{g n}$ ; commenter.
Q4. Pourquoi modifier le débit d'air abaisse-t-il la température de sortie ? Pourquoi choisit-on $D_{m, ai r} > D_{m 0}$ ?
Q5. Tableau des débits molaires de sortie $F_{CH X_{4}}$ , $F_{O X_{2}}$ … en fonction de $D_{m, ai r}$ , $D_{m 0}$ et des masses molaires ( $D_{m, ai r} > D_{m 0}$ ).
Q6. Débit d'air $D_{m 1}$ faisant fonctionner la turbine à sa température maximale sans produire de $NO_{x}$ .

Les $C_{p m}$ varient avec $T$ (figure 2) selon la relation de Shomate $C_{p m} (T) = A + B T + C T^{2} + D T^{3} + E / T^{2}$ , et $H (T_{2}) - H (T_{1}) = \int_{T_{1}}^{T_{2}} n C_{p m} (T) d T$ .

Figure 2 — Capacités thermiques molaires de quelques gaz en fonction de la température.

Q7. Reprendre Q6 avec les $C_{p m} (T)$ : relation intégrale (non calculée) donnant $D_{m, ai r}$ en fonction de la température de sortie $T_{s}$ .

Un programme Python décrit chaque gaz par gaz = [A, B, C, D, E] ; la fonction fournie Cpm(T, gaz) renvoie $C_{p m} (T)$ .

Q8. Unités de $A$ à $E$ ; écrire int_Cpm(gaz, T1, T2) (intégrale de $C_{p m}$ de $T_{1}$ à $T_{2}$ , rectangles, $N = 1000$ points).

Figure 3 — Température de sortie des gaz en fonction du débit d'air.

Q9. Décrire et interpréter la figure 3 ; débit d'air réel optimal sans $NO_{x}$ , comparé à $D_{m 1}$ (prévisible ?) ; débit des gaz sortants.
Q10. Estimer le rendement thermodynamique de la centrale DK6.

Corrigé

Q1. Équation de réaction. Avec un coefficient 1 pour le méthane et des produits gazeux :

$CH X_{4} (g) + 2 O X_{2} (g) CO X_{2} (g) + 2 H X_{2} O (g) .$

Caractère quantitatif. Par la loi de Hess (l'enthalpie de formation de $O X_{2} (g)$ , corps simple dans son état standard de référence, est nulle) :

$Δ_{r} H^{\circ} Δ_{r} S^{\circ} = Δ_{f} H^{\circ} (CO X_{2}) + 2 Δ_{f} H^{\circ} (H X_{2} O) - Δ_{f} H^{\circ} (CH X_{4}) = - 393, 5 - 2 \times 241, 8 + 74, 9 = - 802, 2 kJ \cdot mo l^{- 1}, = S_{m}^{\circ} (CO X_{2}) + 2 S_{m}^{\circ} (H X_{2} O) - S_{m}^{\circ} (CH X_{4}) - 2 S_{m}^{\circ} (O X_{2}) = 213, 8 + 377, 4 - 186, 2 - 410, 0 = - 5, 0 J \cdot K^{- 1} \cdot mo l^{- 1} .$

D'où l'enthalpie libre standard de réaction à $T_{0} = 298 K$ :

$Δ_{r} G^{\circ} = Δ_{r} H^{\circ} - T_{0} Δ_{r} S^{\circ} = - 802, 2 + 298 \times 5, 0 \times 1 0^{- 3} = - 800, 7 kJ \cdot mo l^{- 1},$

$K^{\circ} = exp (- \frac{Δ _{r} G ^{\circ}}{R T _{0}}) = exp (\frac{800 , 7 \times 1 0 ^{3}}{8 , 31 \times 298}) = e^{323} \approx 1 0^{140} .$

$K^{\circ} ≫ 1 0^{4}$ : la réaction est quantitative (totale en pratique) ; à l'équilibre, le réactif limitant a disparu.

Pouvoir calorifique inférieur. Pour une transformation monobare, le transfert thermique reçu par le système est $Q = Δ H = ξ Δ_{r} H^{\circ}$ ; l'énergie thermique libérée par la combustion d'une mole de méthane est $- Δ_{r} H^{\circ}$ (eau produite à l'état de vapeur : c'est le PCI). Par unité de masse, avec $M (CH X_{4}) = 16, 0 g \cdot mo l^{- 1}$ :

$q_{g n} = \frac{- Δ _{r} H ^{\circ}}{M ( CH X _{4} )} = \frac{802 , 2 \times 1 0 ^{3}}{16 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} = 5, 01 \times 1 0^{7} J \cdot k g^{- 1} \approx 50 MJ \cdot k g^{- 1} .$

Q2. Le débit molaire de méthane est $F_{0} = D_{m, g n} / M (CH X_{4}) = 9, 66/16, 0 \times 1 0^{- 3} = 604 mol \cdot s^{- 1}$ . Dans les proportions stœchiométriques, il faut deux fois plus de moles (et non de masse) de dioxygène, soit $2 F_{0}$ , et donc $5 \times 2 F_{0} = 10 F_{0}$ moles d'air par seconde, puisque l'air contient $1/5$ de $O X_{2}$ . La masse molaire moyenne de l'air est

$M_{ai r} = \frac{4}{5} M (N X_{2}) + \frac{1}{5} M (O X_{2}) = \frac{4}{5} \times 28, 0 + \frac{1}{5} \times 32, 0 = 28, 8 g \cdot mo l^{- 1},$

d'où

$D_{m 0} = 10 \frac{M _{ai r}}{M ( CH X _{4} )} D_{m, g n} = 10 \times \frac{28 , 8}{16 , 0} \times 9, 66 = 174 kg \cdot s^{- 1} .$

Tout le méthane brûle (réaction quantitative, Q1) ; la puissance thermique libérée vaut

$P_{t h 0} = D_{m, g n} q_{g n} = 9, 66 \times 5, 01 \times 1 0^{7} = 4, 84 \times 1 0^{8} W \approx 484 MW .$

Q3. Système. Le contenu de la chambre de combustion, système ouvert en régime stationnaire, à une entrée de réactifs (méthane et air à $T_{0}$ ) et une sortie de gaz brûlés à $T_{s}$ . Premier principe pour un système ouvert en régime stationnaire : en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle, $H ˙_{sor t i e} - H ˙_{e n t r e ˊ e} = P_{u} + P_{t h}$ . La chambre ne comporte aucune pièce mobile ( $P_{u} = 0$ ) et elle est calorifugée ( $P_{t h} = 0$ ) : le débit d'enthalpie se conserve, $H ˙_{sor t i e} = H ˙_{e n t r e ˊ e}$ .

L'enthalpie étant une fonction d'état, on décompose fictivement l'évolution en deux étapes : (1) réaction totale à $T_{0}$ et $p$ constantes, de variation $F_{0} Δ_{r} H^{\circ}$ par seconde (les gaz sont parfaits : leur enthalpie ne dépend pas de la pression, $12 bar$ ou $1 bar$ ) ; (2) échauffement des produits de $T_{0}$ à $T_{s}$ . À la stœchiométrie, les produits sont, par mole de méthane : $1 CO X_{2}$ , $2 H X_{2} O$ et les $8 N X_{2}$ inertes de l'air. Avec des $C_{p m}$ constants :

$0 = F_{0} Δ_{r} H^{\circ} + F_{0} [C_{p m} (CO X_{2}) + 2 C_{p m} (H X_{2} O) + 8 C_{p m} (N X_{2})] (T_{s} - T_{0}) .$

Comme $- F_{0} Δ_{r} H^{\circ} = D_{m, g n} q_{g n}$ et $F_{0} = D_{m, g n} / M (CH X_{4})$ :

$T_{s} = T_{0} + \frac{q _{g n} M ( CH X _{4} )}{C _{p m} ( CO X _{2} ) + 2 C _{p m} ( H X _{2} O ) + 8 C _{p m} ( N X _{2} )}$

$T_{s} = 298 + \frac{802 , 2 \times 1 0 ^{3}}{37 , 1 + 67 , 2 + 232 , 8} = 298 + \frac{802 , 2 \times 1 0 ^{3}}{337 , 1} \approx 2, 68 \times 1 0^{3} K .$

Commentaire. $T_{s} \approx 2680 K \approx 240 0^{\circ} C$ : c'est une température de flamme adiabatique, très au-dessus de la tenue des aubes ( $160 0^{\circ} C$ ) et du seuil de formation des $NO_{x}$ ( $130 0^{\circ} C$ ) : on ne peut pas faire fonctionner la turbine à la stœchiométrie. La valeur est d'ailleurs surestimée : les $C_{p m}$ croissent nettement avec $T$ (figure 2 : celui de $CO X_{2}$ passe de $37$ à près de $60 J \cdot K^{- 1} \cdot mo l^{- 1}$ ), et à ces températures une partie de $CO X_{2}$ et de $H X_{2} O$ se dissocie (en $CO$ , $H X_{2}$ , $O X_{2}$ , réactions endothermiques). La figure 3 donne environ $2250 K$ .

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