Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 PSI — Partie B (II) (Q19 à Q24) : Étage de détente de la turbine haute pression : tuyère, portance des aubes, bilan de moment cinétique

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Chaque étage : un stator de $N = 80$ aubes fixes (tuyères) et un rotor de $80$ aubes mobiles. Dans la THP, l'écoulement stationnaire occupe une couche mince d'épaisseur $a$ autour de l'arbre ; la vapeur est un gaz parfait en évolution isentropique. Le premier étage est modélisé comme une turbine à réaction (figure 5) : vitesses $v_{A}$ à l'entrée, $v_{1}$ en sortie du stator, $v_{2}$ en sortie de l'étage (par rapport au stator).

$D_{m}$	$p_{A}$	$T_{A}$	$ρ_{A}$	$v_{A}$ (Q13)
$148 kg \cdot s^{- 1}$	$144 bar$	$838 K$	$33 kg \cdot m^{- 3}$	$55 m \cdot s^{- 1}$

$γ$	$c_{p}$	$Ω$	$R_{0}$	hauteur $a$	corde $b$
$1, 30$	$2, 00 kJ \cdot K^{- 1} \cdot k g^{- 1}$	$3000 tr \cdot mi n^{- 1}$	$296 mm$	$41 mm$	$32 mm$

Figure 5 — Principe d'une turbine à réaction.

Q19. Critère qualitatif, portant sur des durées caractéristiques, justifiant que l'évolution dans le stator est adiabatique.
Q20. Dans le stator, $Δ p_{1} = p_{1} - p_{A} = - 7, 3 bar$ : $Δ T_{1} = T_{1} - T_{A}$ au premier ordre ; premier principe : valeurs de $Δ T_{1}$ et $v_{1}$ .

Rotor : $Ω = Ω e_{z}$ , $U = R_{0} Ω e_{θ}$ ; vitesse relative d'entrée $w_{1} = v_{1} - U$ axiale ; en sortie, $v_{2}$ axiale et $β = α$ (figure 6).

Figure 6 — Triangle des vitesses (a) en entrée et (b) en sortie du rotor.

Premier modèle : chaque aube est une aile ; portance $\frac{1}{2} ρ C_{L} S v^{2}$ , traînée $\frac{1}{2} ρ C_{D} S v^{2}$ ( $v$ : vitesse relative du fluide). Ici $R e = 6 \times 1 0^{6}$ , inclinaison $1 5^{\circ}$ .

Document 2 — Profil NACA 6412 : portance et traînée.

Q21. Justifier l'inclinaison ; estimer la puissance du premier étage, le nombre $n$ d'étages et la force axiale sur le rotor.

Figure 7 — Fluide entre deux aubes du rotor.

Q22. Bilan de moment cinétique axial (figure 7) : couple du fluide sur le rotor en fonction de $D_{m}$ , $R_{0}$ , $U$ ; montrer que la puissance vaut $D_{m} U^{2}$ .

Turbine à action parfaite : degré de réaction nul, travail massique utile reçu par le fluide dans un étage $- 2 U^{2}$ . La THP compte $n$ étages d'action identiques se partageant la chute d'enthalpie.

Q23. Nombre $n$ d'étages de la THP.
Q24. Puissance mécanique totale transmise à l'arbre par tous les étages ; commenter.

Corrigé

Q19. Deux durées sont en concurrence pour une particule de fluide qui traverse le stator :

la durée de transit (convection), $τ_{co n v} \sim b / v$ , avec la longueur axiale $b = 32 mm$ d'une aube et une vitesse de l'ordre de $1 0^{2} m \cdot s^{- 1}$ : $τ_{co n v} \sim 3 \times 1 0^{- 4} s$ ;
la durée de diffusion thermique entre le cœur du canal et les parois des aubes, distantes de l'ordre du pas $e = 2 π R_{0} / N \approx 2 cm$ : $τ_{t h} \sim e^{2} / D_{t h}$ , où $D_{t h} = λ / (ρ c_{p})$ est la diffusivité thermique de la vapeur. Avec $λ \sim 0, 1 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ (ordre de grandeur pour un gaz chaud), $ρ \approx 33 kg \cdot m^{- 3}$ et $c_{p} = 2 \times 1 0^{3} J \cdot K^{- 1} \cdot k g^{- 1}$ , $D_{t h} \sim 1 0^{- 6} m^{2} \cdot s^{- 1}$ et $τ_{t h} \sim 1 0^{2} s$ .

Critère : l'évolution est adiabatique si $τ_{co n v} ≪ τ_{t h}$ : le fluide a quitté le stator bien avant que la chaleur ait eu le temps de diffuser jusqu'aux parois. Le rapport, de l'ordre de $1 0^{5}$ , laisse une marge énorme, même si la turbulence accélère les échanges de plusieurs ordres de grandeur.

Q20. Variation de température. Pour une évolution isentropique d'un gaz parfait, la loi de Laplace $p^{1 - γ} T^{γ} = cte$ donne, en différentiant le logarithme, $(1 - γ) d p / p + γ d T / T = 0$ . Au premier ordre en $Δ p_{1}$ :

$Δ T_{1} = \frac{γ - 1}{γ} \frac{T _{A}}{p _{A}} Δ p_{1} = \frac{0 , 30}{1 , 30} \times \frac{838}{144 \times 1 0 ^{5}} \times (- 7, 3 \times 1 0^{5}) \approx - 9, 8 K .$

(On a bien $∣ Δ p_{1} ∣ / p_{A} = 5%$ , ce qui justifie le premier ordre.)

Vitesse de sortie du stator. Premier principe pour le système ouvert « vapeur traversant le stator », en régime stationnaire : $Δ h + Δ (v^{2} /2) + g Δ z = w_{u} + q$ . Les aubes fixes n'échangent aucun travail ( $w_{u} = 0$ ), l'évolution est adiabatique (Q19, $q = 0$ ) et la variation d'altitude est négligeable. Pour un gaz parfait, $Δ h = c_{p} Δ T_{1}$ , d'où

$c_{p} Δ T_{1} + \frac{v _{1}^{2} - v _{A}^{2}}{2} = 0, v_{1} = v_{A}^{2} - 2 c_{p} Δ T_{1}$

$v_{1} = 5 5^{2} + 2 \times 2, 00 \times 1 0^{3} \times 9, 8 \approx 2, 1 \times 1 0^{2} m \cdot s^{- 1}$

(plus précisément $206 m \cdot s^{- 1}$ ). La baisse d'enthalpie de $20 kJ \cdot k g^{- 1}$ est convertie en énergie cinétique : le stator est une tuyère. Remarque : $c_{p} Δ T_{1} = Δ p_{1} / ρ_{GP}$ avec $ρ_{GP} = p_{A} M / (R T_{A})$ ; avec la masse volumique donnée $ρ_{A} = 33 kg \cdot m^{- 3}$ , on trouverait $Δ T_{1} \approx - 11 K$ et $v_{1} \approx 217 m \cdot s^{- 1}$ , même ordre de grandeur. La vitesse du son, $γ R T / M \approx 7 \times 1 0^{2} m \cdot s^{- 1}$ , n'est pas atteinte (nombre de Mach $0, 3$ ).

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