Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 1 PSI — Partie C (Q25 à Q34) : Alternateur synchrone diphasé : essais à vide et en court-circuit, courbes de Mordey, compensateur synchrone

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Alternateur synchrone étudié sur un modèle diphasé équivalent (tableau). Valeurs efficaces. Pôles lisses, ferromagnétique idéal ; entrefer mince, à la distance $r$ de l'axe $(O z)$ .

Nombre de pôles ; nombre de phases	$2$ ; $2$
Puissance moyenne nominale	$P_{n} = 240 MW$
Courant de phase statorique nominal	$I_{n} = 11, 1 kA$
Facteur de puissance nominal	$0, 85$
Fréquence nominale des courants	$f = 50 Hz$
Courant et tension d'excitation nominaux à vide	$I_{e n} = 498 A$ ; $U_{e n} = 92 V$
Résistance par phase	$0, 9Ω$

I — Paramètres de l'alternateur.

Q25. Courants continus ou sinusoïdaux au stator et au rotor ; organisation spatiale des circuits.
Q26. Puissance moyenne délivrée par les circuits statoriques ; tension nominale $U_{n}$ d'une phase.
Q27. Ferromagnétique idéal ; direction du champ dans l'entrefer ; relation entre $ω$ (courants) et $Ω$ (rotor) ; $Ω_{n}$ en $rad \cdot s^{- 1}$ et $tr \cdot mi n^{- 1}$ .
Q28. Équation électrique d'une phase (figure 8), avec la résistance $R$ et la réactance synchrone $X = L ω$ , en complexes $E$ , $U$ , $I$ .

Figure 8 — Schéma électrique d'une phase.

Essais à $Ω_{n}$ : à vide ( $U$ en fonction du courant d'excitation $I_{e}$ ) et en court-circuit ( $I_{cc}$ en fonction de $I_{e}$ ).

Figure 9 — Essais à vide (à gauche) et en court-circuit (à droite).

Q29. Montrer que $E = k I_{e}$ avec $k = 25, 6Ω$ ; calculer $X$ et commenter.
Q30. Fonctionnement nominal, courant en retard sur la tension : diagramme de Fresnel (origine des phases $U$ ) ; valeur de $E$ puis de $I_{e}$ ; interpréter la « chute de tension en charge ».

II — Raccordement au réseau.

Le réseau impose la tension $U_{n}$ et la fréquence. On néglige $R$ devant $X$ et toutes les pertes ; les turbines imposent un couple constant au rotor. Facteur de puissance $cos φ$ , avec $φ = ar g U - ar g I$ (retard du courant). Figure 10 : diagramme de Fresnel d'une phase pour $φ > 0$ .

Figure 10 — Diagramme de Fresnel de l'alternateur raccordé au réseau ( $φ > 0$ ).

Q31. $P$ délivrée imposée et constante ? $O^{'} A$ proportionnelle à $P$ (constante ?) ; lieu de $M$ ; comment le déplacer ?
Q32. Montrer qu'un point $M^{'}$ délivre la même puissance avec le même courant $I$ ; relation entre $φ$ et $φ^{'}$ ; expression et valeur de $E^{'}$ , puis $I_{e}^{'}$ .

Courbes de Mordey (document réponse), à puissance constante.

Q33. Placer sur les courbes de Mordey les points $M$ et $M^{'}$ à la puissance $P_{n}$ ; en déduire $E$ et $E^{'}$ ; relation entre $φ$ et $φ^{'}$ .
Q34. Compensateur synchrone : la machine tourne à vide, sans charge mécanique ni puissance mécanique reçue. Valeurs possibles de $φ$ ; valeurs de $E$ pour $U = U_{n}$ , $I = I_{n} /10$ , $X = 2, 3Ω$ ; laquelle donne un comportement de condensateur ?

Corrigé

Q25. Rotor (inducteur) : il est parcouru par un courant continu, le courant d'excitation $I_{e}$ (amené par bagues et balais, sous $U_{e n} = 92 V$ et $I_{e n} = 498 A$ à vide nominal). Son bobinage, réparti dans des encoches, crée dans l'entrefer un champ radial à répartition angulaire sinusoïdale à deux pôles (une paire de pôles), fixe par rapport au rotor : en tournant, il devient un champ glissant pour le stator.

Stator (induit) : il est parcouru par des courants sinusoïdaux de pulsation $ω$ . Il porte deux bobinages identiques (deux phases), logés dans des encoches et décalés de $π /2$ dans l'espace autour de l'axe ; en régime équilibré, leurs courants ont même valeur efficace et sont en quadrature temporelle. C'est le siège des f.é.m. induites par le champ tournant du rotor.

Q26. Chaque phase délivre la puissance moyenne $U I cos φ$ (valeurs efficaces, $φ$ déphasage entre tension et courant de la phase) ; pour les deux phases :

$P = 2 U I cos φ .$

Au point nominal :

$U_{n} = \frac{P _{n}}{2 I _{n} cos φ _{n}} = \frac{240 \times 1 0 ^{6}}{2 \times 11 , 1 \times 1 0 ^{3} \times 0 , 85} \approx 1, 27 \times 1 0^{4} V = 12, 7 kV .$

Ce que le correcteur attend : le facteur $2$ des deux phases.

Q27. Ferromagnétique idéal : milieu linéaire de perméabilité relative infinie ( $μ_{r} \to \infty$ ), sans hystérésis, sans saturation ni pertes. À champ $B$ fini, l'excitation $H = B / (μ_{0} μ_{r})$ y est nulle ; les lignes de champ sont canalisées par le fer.

Direction du champ dans l'entrefer. À la traversée de la surface du fer, la composante tangentielle de $H$ est continue (pas de courant surfacique) ; elle est nulle dans le fer, donc aussi dans l'air au voisinage de la surface : le champ dans l'entrefer est normal aux surfaces du stator et du rotor, c'est-à-dire radial. L'entrefer étant mince, $B (M) = B (θ, t) e_{r}$ (la conservation du flux le rend en outre uniforme sur l'épaisseur de l'entrefer).

Relation entre $ω$ et $Ω$ . Le rotor, à une paire de pôles, crée un champ $B_{R} cos (θ - Ω t - θ_{0})$ qui tourne à la vitesse $Ω$ ; le flux à travers une bobine statorique d'axe $θ_{k}$ est proportionnel à $cos (θ_{k} - Ω t - θ_{0})$ , et la f.é.m. induite (loi de Faraday) a la pulsation $Ω$ . De façon équivalente, le couple moyen n'est non nul que si le champ glissant statorique, qui tourne à $ω$ (théorème de Ferraris), tourne à la même vitesse que le rotor (condition de synchronisme). Avec une paire de pôles :

$ω = Ω, Ω_{n} = 2 π f = 2 π \times 50 = 314 rad \cdot s^{- 1} = 3000 tr \cdot mi n^{- 1},$

en accord avec la vitesse des turbines (Partie B) : l'arbre est commun aux turbines et à l'alternateur.

Q28. Sur la figure 8, $E$ et $U$ sont fléchées dans le même sens et $I$ sort de la phase par la borne du haut (convention générateur pour la phase). La loi des mailles, avec la tension $R I$ aux bornes de la résistance et $j L ω I = j X I$ aux bornes de l'inductance (convention récepteur pour ces dipôles), donne

$E = U + R I + j X I ⟺ U = E - (R + j X) I .$

Q29. Essai à vide : $I = 0$ , donc d'après Q28 $U = E$ . La caractéristique est une droite passant par l'origine et par le point $(1, 1)$ : $U / U_{n} = I_{e} / I_{e n}$ , soit

$E = \frac{U _{n}}{I _{e n}} I_{e} = k I_{e}, k = \frac{U _{n}}{I _{e n}} = \frac{12 , 72 \times 1 0 ^{3}}{498} = 25, 5Ω \approx 25, 6Ω$

(la valeur $25, 6Ω$ de l'énoncé correspond à $U_{n}$ arrondie à $12, 75 kV$ ; l'écart de $0, 4%$ est sans conséquence et l'on retient $k = 25, 6Ω$ dans la suite). $k$ est le rapport d'une tension à un courant, il s'exprime bien en ohms. La f.é.m. ne dépend que de $I_{e}$ (à vitesse fixée) : on admet qu'elle garde cette valeur en charge, le matériau étant linéaire.

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