Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MP — Partie A.I (Q1 à Q5) : Fentes d'Young éclairées par deux sources incohérentes : différence de marche, facteur de cohérence

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Montage (figure 1) : deux sources ponctuelles $S_{A}$ et $S_{B}$ , incohérentes, de même amplitude et de longueur d'onde $λ_{0}$ , distantes de $d$ , placées dans le plan focal objet d'une lentille $L_{1}$ (centre $O_{1}$ , focale $f_{1}^{'}$ ) ; $α$ est l'angle $(S_{B} O_{1} S_{A})$ , petit. Suivent deux fentes d'Young $T_{1}$ , $T_{2}$ (largeur $ℓ$ , centres distants de $a$ ), une lentille $L_{2}$ (focale $f_{2}^{'}$ ) et un écran dans son plan focal image, où $M$ a pour abscisse $x$ . Angles petits ; $k = 2 π / λ_{0}$ .

Figure 1 — Montage modèle

Pour $S_{A}$ seule : $δ_{tot} = (S_{A} T_{2} M) - (S_{A} T_{1} M) = δ_{source} + δ$ , avec $δ_{source} = (S_{A} T_{2}) - (S_{A} T_{1})$ (en amont des fentes) et $δ = (T_{2} M) - (T_{1} M)$ (en aval) ; $S_{A}$ émet $s (t) = s_{0} cos (ω t)$ .

Q1. Exprimer $δ_{source}$ en fonction de $a$ et $α$ .
Q2. Signaux $s_{1} (t)$ et $s_{2} (t)$ reçus en $M$ via $T_{1}$ et via $T_{2}$ (atténuation négligée).
Q3. Exprimer $I$ à l'aide de $s_{1}$ , $s_{2}$ ; en déduire $I (δ) = 2 I_{0} (1 + cos [k (a α /2 + δ)])$ .
Q4. $S_{A}$ et $S_{B}$ interfèrent-elles ? Montrer que $I_{d} (δ) = I_{d, 0} (1 + Γ (a, α) cos (k δ))$ avec $Γ = cos (α k a /2)$ .
Q5. Allure de $I_{d} (δ)$ pour $Γ = 1$ , puis pour $Γ = 0$ .

Corrigé

Q1. Rôle de $L_{1}$ . $S_{A}$ est dans le plan focal objet de $L_{1}$ : son image est à l'infini, et les rayons issus de $S_{A}$ ressortent de $L_{1}$ parallèles au rayon non dévié $S_{A} O_{1}$ , qui descend avec l'angle $α /2$ sous l'axe (figure ci-dessous). L'onde issue de $S_{A}$ est donc, après $L_{1}$ , une onde plane de direction $u = cos (α /2) e_{z} - sin (α /2) e_{x}$ .

Théorème de Malus et stigmatisme. Les surfaces d'onde sont orthogonales aux rayons : ce sont des plans perpendiculaires à $u$ , et le chemin optique $(S_{A} P)$ est le même en tout point $P$ d'un tel plan (le stigmatisme de $L_{1}$ entre $S_{A}$ et l'infini garantit l'égalité des chemins jusqu'au plan d'onde). Soit $H$ le pied, sur le rayon qui aboutit en $T_{2}$ , du plan d'onde passant par $T_{1}$ : $(S_{A} H) = (S_{A} T_{1})$ , d'où

$δ_{source} = (S_{A} T_{2}) - (S_{A} T_{1}) = H T_{2} = T_{1} T_{2} \cdot u = (- a e_{x}) \cdot u = a sin \frac{α}{2} ≃ \frac{a α}{2} .$

Ce que le correcteur attend : le schéma, l'argument « source dans le plan focal objet $\Rightarrow$ onde plane après $L_{1}$ », et le signe ( $T_{2}$ , plus bas, est atteint plus tard).

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