Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MP — Partie A.I (Q6 à Q12) : Mesure de la distance de deux sources : contraste, incertitudes, ajustement, image directe et écart normalisé

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Suite du montage de Q1 à Q5 : sources incohérentes $S_{A}$ , $S_{B}$ distantes de $d$ dans le plan focal objet de $L_{1}$ (focale $f_{1}^{'}$ ), angle $α = (S_{B} O_{1} S_{A})$ , fentes d'Young distantes de $a$ , observation dans le plan focal de $L_{2}$ (focale $f_{2}^{'}$ ) ; intensité $I_{d} (δ) = I_{d, 0} (1 + Γ cos (k δ))$ avec $Γ = cos (α k a /2)$ , $k = 2 π / λ_{0}$ .

Expérience (figure 2) : les sources sont deux traits lumineux d'un écran de smartphone (figure 3) ; $L_{2}$ et l'écran sont l'objectif et le capteur d'un appareil photographique réglé à l'infini. $a = 200 μ m$ , $λ_{0} = 650 nm$ , $f_{1}^{'} = 80 cm$ , $f_{2}^{'} = 5, 6 cm$ .

Figure 2 — Montage réel

Figure 3 — Image affichée sur le smartphone (traits noirs = traits lumineux)

La figure 4 donne le profil d'intensité du capteur en fonction de $δ / λ_{0}$ (au-dessus, la photographie montre les franges correspondantes).

Figure 4 — Profil d'intensité de la figure d'interférences

Q6. Calculer $k a /2$ .
Q7. Incertitude-type sur $k a /2$ , sachant $u (λ_{0}) = 30 nm$ .
Q8. Contraste $C = \frac{I _{max} - I _{min}}{I _{max} + I _{min}}$ de cette figure ( $I_{max}$ au centre, $I_{min}$ aux deux minimums qui l'encadrent).
Q9. Placer ce point, avec ses incertitudes-types ( $u (C) = 10%$ de $C$ ), sur le document réponse ci-dessous.

Document réponse — Contraste en fonction de $k a /2$

Ajustement par $C_{0} ∣ cos (α k a /2) ∣$ (modèle : $C = ∣ Γ ∣$ ) : $C_{0} = 0, 421$ , $u (C_{0}) = 0, 010$ ; $α = 6, 36 \times 1 0^{- 4} rad$ , $u (α) = 1, 1 \times 1 0^{- 5} rad$ .

Q10. Comment obtenir $u (C_{0})$ et $u (α)$ à partir des incertitudes sur les données ?
Q11. En déduire $d$ et $u (d)$ .

Sans les fentes d'Young, le capteur enregistre le profil de la figure 5 (la photographie montre deux taches).

Figure 5 — Profil d'intensité sans les fentes d'Young

Q12. En déduire une autre valeur de $d$ avec une estimation de son incertitude ; comparer à Q11 par un critère quantitatif.

Corrigé

Q6. Avec $k = 2 π / λ_{0}$ :

$\frac{k a}{2} = \frac{π a}{λ _{0}} = \frac{π \times 200 \times 1 0 ^{- 6}}{650 \times 1 0 ^{- 9}} = 9, 67 \times 1 0^{2} rad .$

Q7. $a$ étant supposée connue sans incertitude, $k a /2 = π a / λ_{0}$ est inversement proportionnelle à $λ_{0}$ ; les incertitudes relatives sont égales :

$u (\frac{k a}{2}) = \frac{k a}{2} \frac{u ( λ _{0} )}{λ _{0}} = 967 \times \frac{30}{650} = 45 rad, \frac{k a}{2} = (9, 67 \pm 0, 45) \times 1 0^{2} rad .$

Q8. Sur la figure 4, le maximum central vaut $I_{max} \approx 111$ (u.a.) et les deux minimums voisins, en $δ / λ_{0} \approx \pm 0, 5$ , valent $I_{min} \approx 50$ :

$C = \frac{111 - 50}{111 + 50} \approx 0, 38.$

(La décroissance des maxima loin du centre est due à la diffraction par chaque fente de largeur $ℓ$ ; elle ne joue pas au voisinage immédiat du centre.)

Q9. Le point est $(k a /2 = 967 \pm 45 rad, C = 0, 38 \pm 0, 04)$ , tracé en rouge ci-dessous avec ses deux barres d'incertitude-type :

L'ajustement prévoit en ce point $0, 421 \times cos (6, 36 \times 1 0^{- 4} \times 967) = 0, 34$ ; l'écart à notre mesure, $0, 04$ , est de l'ordre d'une incertitude-type : le point est compatible avec les autres.

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