Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MP — Partie B (Q15 à Q22) : Le Soleil comme lentille gravitationnelle : ligne focale, résolution, anneau d'Einstein, amplification

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un point $A_{0}$ d'une exoplanète, à l'infini derrière le Soleil (centre $S$ , rayon $R_{s}$ , masse $M_{s}$ ), émet des rayons parallèles à l'axe optique $(A_{0} S)$ . Un rayon de paramètre d'impact $b$ (distance à l'axe) est dévié vers l'axe de l'angle $χ = 2 r_{sch} / b$ , avec $r_{sch} = 2 G M_{s} / c^{2}$ ; on le modélise par deux demi-droites raccordées dans le plan de $S$ , et il recoupe l'axe en $F_{b}$ (figure 7). Le rayon rasant ( $b = R_{s}$ ) le coupe en $F_{0}$ , foyer image gravitationnel ; $z_{0} = S F_{0}$ .

Figure 7 — Déviation des rayons par le Soleil

Q15. Exprimer $S F_{b}$ en fonction de $r_{sch}$ et $b$ ; calculer $z_{0}$ en unités astronomiques, comparer au rayon de l'orbite de Neptune ( $30 au$ ).
Q16. Un observateur situé entre $S$ et $F_{b}$ peut-il ainsi voir $A_{0}$ ?
Q17. Comparer le devenir de rayons parallèles à l'axe à travers une lentille mince en verre et à travers la lentille gravitationnelle (schémas).

L'exoplanète est à $100 al$ . En $F_{1}$ , avec $S F_{1} = 600 au$ , se forme l'image $A_{1}$ de $A_{0}$ ; un autre point $B_{0}$ de la surface a pour image $B_{1}$ dans le plan perpendiculaire à l'axe passant par $A_{1}$ (le sujet écrit $A_{0}$ : coquille, voir Q18), avec $B_{0}$ , $S$ , $B_{1}$ alignés. Autour de $A_{1}$ comme de $B_{1}$ , la lumière s'étale selon le profil de la figure 8b (intensité).

Figure 8 — a) Images de $A_{0}$ et $B_{0}$ ; b) intensité en fonction de la distance $ρ$ à l'axe

Q18. Exprimer $A_{1} B_{1}$ en fonction de $A_{0} B_{0}$ , $S A_{0}$ et $S A_{1}$ .
Q19. Lire sur la figure 8b une valeur de $ρ_{min}$ , plus petite distance $A_{1} B_{1}$ pour laquelle les taches centrales autour de $A_{1}$ et $B_{1}$ ne se superposent pas.
Q20. Valeur de $A_{0} B_{0}$ correspondant à $A_{1} B_{1} = ρ_{min}$ ; commenter.

Une sonde munie d'un télescope de diamètre $D$ , à la distance $z$ de $S$ sur l'axe, capte en première approximation les rayons de paramètre d'impact entre $b$ et $b + D$ (figure 9a). Son image (photographie 9b) montre le Soleil entouré d'un cercle lumineux, l'anneau d'Einstein.

Figure 9a — Rayons captés par le télescope

Q21. Comment l'anneau d'Einstein se modifie-t-il quand la sonde s'éloigne du Soleil ?
Q22. Avec $μ$ = (puissance issue de $A_{0}$ collectée avec la lentille)/(puissance collectée sans elle), justifier $μ = 8 b / D$ ; calculer $μ$ en $F_{0}$ ( $b = R_{s}$ ) pour $D = 1, 0 m$ ; commenter.

$c = 3, 00 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$	$G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$	$M_{s} = 1, 99 \times 1 0^{30} kg$
$R_{s} = 6, 96 \times 1 0^{8} m$	$1 au = 1, 50 \times 1 0^{11} m$	$1 al = 9, 46 \times 1 0^{15} m$

Corrigé

Q15. Dans le modèle des deux demi-droites, le rayon dévié part du point du plan de $S$ situé à la hauteur $b$ et rejoint l'axe en $F_{b}$ en faisant l'angle $χ$ avec lui. Dans le triangle rectangle de sommets $S$ , $F_{b}$ et ce point :

$tan χ = \frac{b}{S F _{b}} ⟹ S F_{b} ≃ \frac{b}{χ} = \frac{b ^{2}}{2 r _{sch}} (χ ≪ 1) .$

Application numérique :

$r_{sch} = \frac{2 G M _{s}}{c ^{2}} = \frac{2 \times 6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 1 , 99 \times 1 0 ^{30}}{( 3 , 00 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 2, 95 \times 1 0^{3} m,$

$z_{0} = \frac{R _{s}^{2}}{2 r _{sch}} = \frac{( 6 , 96 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}}{2 \times 2 , 95 \times 1 0 ^{3}} = 8, 21 \times 1 0^{13} m = \frac{8 , 21 \times 1 0 ^{13}}{1 , 50 \times 1 0 ^{11}} au \approx 5, 5 \times 1 0^{2} au .$

La déviation maximale est minuscule ( $χ_{0} = 2 r_{sch} / R_{s} = 8, 5 \times 1 0^{- 6} rad = 1, 7 5^{''}$ ), d'où un foyer très lointain : $z_{0}$ vaut environ $18$ fois le rayon de l'orbite de Neptune, et plus de trois fois la distance atteinte par Voyager 1, la sonde la plus lointaine, après près d'un demi-siècle de vol (de l'ordre de $160 au$ ).

Q16. Soit un observateur sur l'axe, à la distance $z$ de $S$ . Les seuls rayons issus de $A_{0}$ qui l'atteignent sont ceux qui recoupent l'axe en ce point : d'après Q15, ils ont le paramètre d'impact $b (z) = 2 r_{sch} z$ . Or un rayon de paramètre d'impact $b < R_{s}$ rencontre le Soleil et y est absorbé ; il faut donc $b (z) ⩾ R_{s}$ , soit $z ⩾ z_{0}$ .

Entre $S$ et $F_{0}$ ( $z < z_{0}$ ) : aucun rayon dévié n'atteint l'observateur, et la lumière directe de $A_{0}$ , qui arrive le long de l'axe, est masquée par le Soleil : il ne peut pas voir $A_{0}$ .
Entre $F_{0}$ et $F_{b}$ ( $z_{0} ⩽ z ⩽ S F_{b}$ ) : les rayons de paramètre d'impact $2 r_{sch} z$ , venus de toutes les directions autour de l'axe, convergent sur lui : il voit $A_{0}$ , sous la forme d'un anneau qui entoure le Soleil (Q21).

En pratique, il faut encore séparer cette lumière très faible de celle, écrasante, du Soleil et de sa couronne (coronographe).

Q17. Les deux lentilles sont convergentes (elles rabattent les rayons vers l'axe), mais la loi de déviation est opposée.

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