Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MP — Partie C.II (Q27 à Q32) : Voile orthogonale au rayonnement : force centrale, énergie potentielle effective, surface minimale

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une sonde de masse $m = 50 kg$ , assimilée à un point $M$ , décrit une orbite circulaire de rayon $R_{T}$ autour du Soleil (centre $O$ , masse $M_{s}$ ), dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen, soumise à la seule attraction du Soleil. Mouvement plan, $(O z)$ normal au plan ; coordonnées polaires $(r, θ)$ de centre $O$ ; $ω_{T}$ : pulsation du mouvement.

Q27. Montrer que $R_{T}^{3} ω_{T}^{2} = G M_{s}$ ; nom de cette loi ; vitesse $v_{T}$ en fonction de $G$ , $M_{s}$ , $R_{T}$ .

À $t = 0$ , la sonde déploie une voile de surface $S$ , orthogonale au rayonnement solaire, qui la soumet en plus à $F_{r} = p_{T} \frac{R _{T}^{2}}{r ^{2}} S e_{r}$ , avec $p_{T} = 8, 0 \times 1 0^{- 6} Pa$ (pression de radiation au niveau de l'orbite terrestre). Le mouvement reste plan.

Q28. Montrer que le moment cinétique $L_{z}$ par rapport à $(O z)$ se conserve et que $C = ∣ L_{z} ∣ / m$ vérifie $C = r^{2} θ ˙$ .
Q29. Énergie potentielle associée à la somme des deux forces, nulle à l'infini, en fonction de $G$ , $M_{s}$ , $m$ , $p_{T}$ , $R_{T}$ , $S$ , $r$ .
Q30. Montrer que $E_{m} = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + E_{p, eff} (r)$ ; exprimer $E_{p, eff}$ en fonction de $G$ , $M_{s}$ , $m$ , $p_{T}$ , $R_{T}$ , $S$ , $C$ , $r$ .
Q31. Montrer que $E_{p, eff}$ admet un extremum si $S < S_{lim}$ ; en tracer l'allure dans ce cas ; nature de la trajectoire selon $E_{m}$ (sans justification).
Q32. Énergie mécanique juste après l'ouverture de la voile ; condition pour que la sonde atteigne l'infini ; en déduire la surface minimale de la voile.

Données : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ , $M_{s} = 1, 99 \times 1 0^{30} kg$ , $1 au = 1, 50 \times 1 0^{11} m$ (environ la distance Terre-Soleil, donc $R_{T}$ ).

Corrigé

Q27. Système : la sonde, point matériel $M$ de masse $m$ ; référentiel héliocentrique, galiléen ; force : l'attraction du Soleil, $- \frac{G M _{s} m}{r ^{2}} e_{r}$ . Sur le cercle $r = R_{T}$ , l'accélération en coordonnées polaires vaut $a = - R_{T} θ ˙^{2} e_{r} + R_{T} θ ¨ e_{θ}$ . Le principe fondamental de la dynamique projeté sur $e_{θ}$ donne $θ ¨ = 0$ : le mouvement circulaire est uniforme, $θ ˙ = ω_{T}$ . Projeté sur $e_{r}$ :

$- m R_{T} ω_{T}^{2} = - \frac{G M _{s} m}{R _{T}^{2}} ⟹ R_{T}^{3} ω_{T}^{2} = G M_{s} .$

C'est la troisième loi de Kepler (sous la forme $T^{2} / R_{T}^{3} = 4 π^{2} / G M_{s}$ avec $T = 2 π / ω_{T}$ ). La vitesse vaut

$v_{T} = R_{T} ω_{T} = \frac{G M _{s}}{R _{T}} = \frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 1 , 99 \times 1 0 ^{30}}{1 , 50 \times 1 0 ^{11}} = 2, 97 \times 1 0^{4} m \cdot s^{- 1},$

soit environ $30 km \cdot s^{- 1}$ , la vitesse orbitale de la Terre (période $2 π / ω_{T} \approx 1, 0$ an).

Q28. Après l'ouverture, la sonde subit

$F = - \frac{G M _{s} m}{r ^{2}} e_{r} + \frac{p _{T} R _{T}^{2} S}{r ^{2}} e_{r} = - \frac{K}{r ^{2}} e_{r}, K = G M_{s} m - p_{T} R_{T}^{2} S .$

Cette force est centrale (portée par $O M$ ). Le théorème du moment cinétique en $O$ , point fixe du référentiel galiléen, donne $\frac{d L _{O}}{d t} = O M \land F = 0$ : $L_{O}$ est constant, donc sa composante $L_{z}$ aussi. Avec $O M = r e_{r}$ et $v = r ˙ e_{r} + r θ ˙ e_{θ}$ :

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →