Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MP — Partie C.III (Q33 à Q38) : Orientation de la voile : équation adimensionnée, système du premier ordre, simulation avec odeint

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Même sonde (masse $m$ , point $M$ ), référentiel héliocentrique galiléen, coordonnées polaires $(r, θ)$ centrées sur le Soleil $O$ . La voile, de surface $S$ , a une normale $u$ faisant l'angle $β = (e_{r}, u) \in [- π /2, π /2]$ (figure 11) ; elle subit $F_{r} = p_{T} \frac{R _{T}^{2}}{r ^{2}} cos^{2} (β) S u$ , avec $p_{T} = 8, 0 \times 1 0^{- 6} Pa$ . Conditions initiales : $r (0) = R_{T}$ , $θ (0) = 0$ , $r ˙ (0) = 0$ , $θ ˙ (0) = ω_{T}$ (orbite circulaire de la partie C.II, $R_{T}^{3} ω_{T}^{2} = G M_{s}$ ). Variables réduites : $O M = R_{T} ρ$ (norme $ρ$ ), $τ = ω_{T} t$ .

Figure 11 — Orientation de la voile en $M$

Q33. Montrer que $\frac{d ^{2} ρ}{d τ ^{2}} = - \frac{1}{ρ ^{2}} e_{r} + \frac{η}{ρ ^{2}} cos^{2} β u$ ; exprimer la constante $η > 0$ et en donner une signification physique.
Q34. Réécrire cette équation en un système de quatre équations du premier ordre en $ρ$ , $θ$ , $d ρ / d τ$ , $d θ / d τ$ .

Le script de la figure 12 fixe eta = 0.41, laisse incomplète la liste cond_init (ligne 7, dans l'ordre $ρ$ , $θ$ , $d ρ / d τ$ , $d θ / d τ$ ), prend 5001 instants de $τ = 0$ à $τ = 2 π \times 5/12$ (5 mois) et 361 valeurs de $β$ entre $- 9 0^{\circ}$ et $9 0^{\circ}$ ; pour chacune, il appelle scipy.integrate.odeint(voile_solaire_beta, cond_init, array_temps, args=(eta, beta)) et garde sol[-1, 0], valeur finale $ρ_{f}$ . La fonction voile_solaire_beta(y, tc, a, b) n'est pas écrite (syntaxe de odeint rappelée en annexe du sujet).

Q35. Valeurs à $τ = 0$ de $ρ$ , $θ$ , $d ρ / d τ$ , $d θ / d τ$ ; liste de la ligne 7.
Q36. Écrire la fonction voile_solaire_beta.

Figure 13 — Valeur finale $ρ_{f}$ après 5 mois en fonction de $β$

Q37. Pourquoi $ρ_{f} = 1$ pour $β = \pm 9 0^{\circ}$ ?
Q38. Lire la valeur $β_{e}$ qui éloigne le plus la sonde du Soleil et la valeur $β_{a}$ qui l'en rapproche le plus.

Corrigé

Q33. Système : la sonde, point matériel ; référentiel héliocentrique galiléen ; forces : attraction du Soleil et pression de radiation. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit

$m \frac{d ^{2} O M}{d t ^{2}} = - \frac{G M _{s} m}{r ^{2}} e_{r} + \frac{p _{T} R _{T}^{2} S}{r ^{2}} cos^{2} β u .$

Avec $O M = R_{T} ρ$ , $r = R_{T} ρ$ et $\frac{d}{d t} = ω_{T} \frac{d}{d τ}$ , le membre de gauche vaut $m R_{T} ω_{T}^{2} \frac{d ^{2} ρ}{d τ ^{2}}$ . On divise par $m R_{T} ω_{T}^{2} = G M_{s} m / R_{T}^{2}$ (troisième loi de Kepler, Q27) :

$\frac{d ^{2} ρ}{d τ ^{2}} = - \frac{1}{ρ ^{2}} e_{r} + \frac{η}{ρ ^{2}} cos^{2} β u, η = \frac{p _{T} R _{T}^{2} S}{G M _{s} m} = \frac{S}{S _{lim}} .$

Signification. $η$ est le rapport de la force de pression de radiation en incidence normale, $p_{T} S R_{T}^{2} / r^{2}$ , à la force de gravitation, $G M_{s} m / r^{2}$ ; les deux variant en $1/ r^{2}$ , ce rapport ne dépend pas de la distance : c'est un paramètre d'allègement de la sonde. La valeur $η = 0, 41$ du script correspond à $S = 0, 41 S_{lim} \approx 1, 5 \times 1 0^{4} m^{2}$ (Q31).

Q34. En coordonnées polaires, $ρ = ρ e_{r}$ et, en notant $^{'}$ la dérivée par rapport à $τ$ ,

$\frac{d ^{2} ρ}{d τ ^{2}} = (ρ^{''} - ρ θ^{'2}) e_{r} + (2 ρ^{'} θ^{'} + ρ θ^{''}) e_{θ}, u = cos β e_{r} + sin β e_{θ} .$

En projetant l'équation de Q33 sur $e_{r}$ et sur $e_{θ}$ :

$ρ^{''} - ρ θ^{'2} = - \frac{1}{ρ ^{2}} + \frac{η cos ^{3} β}{ρ ^{2}}, 2 ρ^{'} θ^{'} + ρ θ^{''} = \frac{η cos ^{2} β sin β}{ρ ^{2}} .$

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