Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MP — Partie C.IV (Q39 à Q40) : Trajectoire par le voisinage du Soleil et contrainte thermique sur la voile

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Sonde à voile solaire de la partie C.III, dans le référentiel héliocentrique galiléen. Simulations : depuis l'orbite circulaire de rayon $R_{T}$ (orbite terrestre), voile orientée à $β_{a} \approx - 5 2^{\circ}$ (angle entre la direction Soleil-sonde et la normale à la voile, valeur qui rapproche le plus la sonde du Soleil) ; arrivée à la distance $r_{changement}$ , voile tournée à $β_{e} \approx 2 0^{\circ}$ (qui l'éloigne le plus) ; arrêt à $500 au$ . Pour plusieurs $r_{changement}$ , on relève la distance minimale d'approche $r_{min}$ et la durée du voyage (figure 14).

Figure 14 — À gauche : trajectoire près du Soleil (pointillés : orbite terrestre). À droite : durée pour atteindre $500 au$ en fonction de $r_{min}$ (simulations)

Q39. Expliquer qualitativement pourquoi se rapprocher d'abord du Soleil réduit la durée pour s'en éloigner.

La voile absorbe $P_{abs} = ξ I_{s} \frac{R _{T}^{2}}{r ^{2}} S cos β$ ( $ξ = 0, 1$ , $I_{s} = 1, 4 kW \cdot m^{- 2}$ , $R_{T} = 1, 0 au$ ) et émet un flux surfacique $φ_{ray} = ε σ T^{4}$ ( $ε = 0, 8$ , $σ = 5, 67 \times 1 0^{- 8} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 4}$ ) ; sa température ne doit pas dépasser $T_{max} = 700 K$ .

Q40. Estimer la durée minimale envisageable pour atteindre $500 au$ , compte tenu de cette contrainte et des simulations de la figure 14 ; expliciter la démarche et les choix.

Corrigé

Q39. La force de gravitation est conservative : elle ne peut, à elle seule, changer la vitesse de la sonde entre deux points situés à la même distance du Soleil. Le gain d'énergie mécanique est le travail de la seule force de radiation, $Δ E_{m} = W (F_{r})$ , et sa puissance $F_{r} \cdot v$ croît très vite quand la sonde s'approche du Soleil : la force varie en $1/ r^{2}$ (cent fois plus grande à $0, 1 au$ qu'à $1 au$ ) et la sonde va plus vite au périhélie (vitesse de l'ordre de $G M_{s} / r$ ). L'énergie cédée pendant la phase de rapprochement (voile freinante) l'est loin du Soleil, où la force est faible ; l'énergie reçue au passage près du Soleil, où la voile pousse dans le sens du mouvement et repousse radialement, est bien plus grande. La sonde ressort donc avec une énergie mécanique beaucoup plus élevée, donc une vitesse de croisière (vitesse « à l'infini ») plus grande : les quelque $500 au$ du voyage, qui en représentent l'essentiel de la durée, sont parcourues plus vite. Le détour de quelques mois vers le Soleil fait gagner des décennies (figure 14 : de $60$ à $34$ ans quand $r_{min}$ passe de $0, 2$ à $0, 055 au$ ).

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