Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MPI — Partie A (I) (Q1 à Q13) : Diode à vide : équation de Poisson avec charge d'espace, loi en puissance 3/2 de la caractéristique

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Triode ECC83, tube à vide (figures 1 et 2 : photographies et vue éclatée : filament au centre, cathode, grille, anode). Cathode cylindrique de rayon $r_{1} = 2, 0 mm$ , anode cylindrique coaxiale de rayon $r_{2} = 5, 0 mm$ , d'axe $(O z)$ , toutes deux de hauteur $H = 45 mm$ ; l'ensemble est sous vide.

Partie A : grille ignorée, le tube est une diode. La cathode chauffée émet des électrons (masse $m$ , charge $- e$ ) sans vitesse initiale. Cathode au potentiel $V_{c} = 0$ , anode au potentiel $V_{a} > 0$ . Courant $I_{a}$ et tension $U_{a c}$ : figure 3. Régime stationnaire ; $ρ$ densité volumique de charge entre les électrodes, $V$ potentiel ; coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ .

Données : $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , $m = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ , $ε_{0} = 8, 8 \times 1 0^{- 12} F \cdot m^{- 1}$ . Pour un champ à dépendance radiale, $Δ a = \frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d a}{d r})$ .

Figure 3 — Diode à vide : symbole et fléchage.

Q1. Maxwell en régime stationnaire ; existence de $V$ ; relation entre $V$ et $ρ$ (nom).
Q2. Justifier : effets de bord négligés, $V$ fonction de $r$ seul.
Q3. Ordres de grandeur du poids et de la force électrostatique d'un électron ; conclure.
Q4. Par conservation de l'énergie mécanique, exprimer la vitesse $v (r)$ d'un électron en fonction de $V (r)$ .
Q5. Conservation de la charge ; propriété de $j$ en régime stationnaire ; relation entre $r$ , $H$ , $ρ (r)$ , $v (r)$ , $I_{a}$ .
Q6. Montrer que $\frac{d}{d r} (r \frac{d V}{d r}) = k V^{- 1/2}$ et exprimer $k$ .
Q7. Vérifier la cohérence de l'unité de $k$ .
Q8. Par quels facteurs sont multipliés $ρ$ , $v$ et $I_{a}$ si $V_{a}$ est multiplié par $N$ ?
Q9. On cherche $V (r) = α r^{n}$ : système vérifié par $α$ et $n$ ; valeur de $n$ , expression de $α$ en fonction de $k$ .
Q10. On adopte $V (r) = α (r - r_{1})^{n}$ (mêmes $α$ et $n$ ). Exprimer $U_{a c} = V (r_{2}) - V (r_{1})$ en fonction de $I_{a}$ , en déduire $I_{a} = β U_{a c}^{3/2}$ , l'expression et la valeur de $β$ .
Q11. Pourquoi ce résultat ne vaut-il pas pour $U_{a c} < 0$ ? Que se passe-t-il, que vaut $I_{a}$ ?
Q12. Tracer la caractéristique $I_{a} (U_{a c})$ .
Q13. Point de fonctionnement préconisé : $I_{a}^{0} = 1, 2 mA$ . Calculer $U_{a c}^{0}$ .

Corrigé

Q1. En régime stationnaire, les équations de Maxwell se découplent :

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, rot E = 0, div B = 0, rot B = μ_{0} j .$

Existence du potentiel. L'équation de Maxwell--Faraday stationnaire $rot E = 0$ dit que $E$ est un champ à circulation conservative ; sur un domaine sans « trou » (ici l'espace entre les électrodes, que l'on peut contracter), un champ de rotationnel nul est un gradient : il existe un champ scalaire $V$ tel que $E = - grad V$ (réciproquement, le formulaire rappelle $rot (grad V) = 0$ , ce qui rend cette écriture compatible avec Maxwell--Faraday).

Relation avec $ρ$ . En reportant dans l'équation de Maxwell--Gauss et en utilisant $div (grad V) = Δ V$ :

$div (- grad V) = \frac{ρ}{ε _{0}} ⟹ Δ V + \frac{ρ}{ε _{0}} = 0$

c'est l'équation de Poisson de l'électrostatique (elle se réduit à l'équation de Laplace là où $ρ = 0$ ).

Q2. Effets de bord. La hauteur des électrodes, $H = 45 mm$ , est grande devant la distance qui les sépare, $r_{2} - r_{1} = 3, 0 mm$ (rapport $15$ ), et même devant $r_{2}$ (rapport $9$ ) : en dehors de deux zones d'épaisseur de l'ordre de quelques millimètres près des extrémités, le système se comporte comme s'il était infini selon $(O z)$ . On néglige donc ces zones.

Dépendance en $r$ seule. Les deux électrodes sont des cylindres de révolution coaxiaux, l'émission de la cathode est la même en tout point de sa surface, donc la distribution de charges (électrodes et charge d'espace) est invariante par rotation autour de $(O z)$ : $V$ ne dépend pas de $θ$ . Dans le modèle « infini », elle est aussi invariante par translation selon $(O z)$ : $V$ ne dépend pas de $z$ . Ainsi $V = V (r)$ et $E = - \frac{d V}{d r} e_{r}$ est radial (ce que confirment les plans de symétrie $(M, e_{r}, e_{z})$ et $(M, e_{r}, e_{θ})$ passant par tout point $M$ ).

Q3. Poids : $P = m g \approx 9, 1 \times 1 0^{- 31} \times 9, 8 \approx 9 \times 1 0^{- 30} N$ .

Force électrostatique : son ordre de grandeur est $F = e E$ avec $E \sim U_{a c} / (r_{2} - r_{1})$ . Pour une tension de quelques volts (on trouvera $U_{a c} \approx 3 V$ en Q13) à quelques centaines de volts (tensions usuelles des tubes), $E \sim 1 0^{3}$ à $1 0^{5} V \cdot m^{- 1}$ , d'où

$F \sim 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times \frac{3}{3 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 2 \times 1 0^{- 16} N a ˋ 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times \frac{1 0 ^{2}}{3 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 5 \times 1 0^{- 15} N .$

Conclusion : $F / P ≳ 1 0^{13}$ ; le poids de l'électron est totalement négligeable, et comme le tube est sous vide (pas de collisions), l'électron n'est soumis qu'à la force électrostatique $- e E$ .

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