Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MPI — Partie A (II et III) (Q14 à Q18) : Diode à vide : temps de vol, résistance dynamique, droite de charge et point de fonctionnement

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reprend la diode de la section I : cathode de rayon $r_{1} = 2, 0 mm$ , anode de rayon $r_{2} = 5, 0 mm$ , potentiel approché $V (r) = α (r - r_{1})^{2/3}$ , électrons émis sans vitesse initiale, caractéristique $I_{a} = β U_{a c}^{3/2}$ pour $U_{a c} > 0$ .

II – Caractéristiques dynamiques.

Une petite variation $δ u$ de $U_{a c}$ entraîne une variation $δ i$ de $I_{a}$ , proportionnelle à l'ordre 1 ; on définit la résistance dynamique $r_{d} = δ u / δ i$ .

Q14. Pour $I_{a}^{0} = 1, 2 mA$ , déterminer le temps de vol $τ$ d'un électron de la cathode à l'anode ; en déduire par analyse dimensionnelle une expression et une estimation de la fréquence de coupure de la diode.
Q15. Exprimer $r_{d}$ en fonction de $β$ et $I_{a}$ ; application numérique pour $I_{a}^{0}$ .

III – Polarisation.

Le circuit de la figure 4 (générateur continu $V_{cc} = 10 V$ , résistance $R_{a}$ ; chauffage non représenté) doit imposer $I_{a}^{0} = 1, 2 mA$ . On admet $I_{a} = β U_{a c}^{3/2}$ avec $β = 2, 2 \times 1 0^{- 4}$ USI.

Figure 4 — Circuit de polarisation ; figure 5 — graphe à compléter.

Q16. Écrire la relation entre $I_{a}$ et $U_{a c}$ imposée par la maille (droite de charge).
Q17. Déterminer $R_{a}$ pour avoir $I_{a}^{0} = 1, 2 mA$ .
Q18. Reproduire la figure 5 ; y tracer la droite de charge et la caractéristique, placer $I_{a}^{0}$ et $δ i$ (relatif à $δ u$ ) ; signification de la pente de la caractéristique au point de fonctionnement.

Corrigé

Q14. Mouvement de l'électron. D'après Q4, la vitesse radiale à la distance $r$ de l'axe est $\frac{d r}{d t} = v (r) = \frac{2 e V ( r )}{m} = \frac{2 e α}{m} (r - r_{1})^{1/3}$ . On sépare les variables avec $x = r - r_{1}$ , de $x = 0$ à $x = d = r_{2} - r_{1}$ :

$\int_{0}^{d} x^{- 1/3} d x = \frac{2 e α}{m} \int_{0}^{τ} d t ⟹ τ = \frac{3}{2} d^{2/3} \frac{m}{2 e α} .$

L'intégrale converge bien en $x = 0$ , bien que la vitesse initiale soit nulle. Comme $α d^{2/3} = U_{a c}^{0}$ (Q10),

$τ = \frac{3}{2} (r_{2} - r_{1}) \frac{m}{2 e U _{a c}^{0}} = \frac{3 ( r _{2} - r _{1} )}{2 v _{a}}$

avec $v_{a} = 2 e U_{a c}^{0} / m$ et $U_{a c}^{0} = (I_{a}^{0} / β)^{2/3}$ . ( $v_{a}$ est la vitesse d'arrivée sur l'anode ; pour comparaison, un mouvement uniformément accéléré donnerait $2 d / v_{a}$ : ici l'électron accélère surtout au début, car $V$ croît très vite près de la cathode.)

Application numérique avec $U_{a c}^{0} = 3, 1 V$ (Q13) : $v_{a} = 2 \times 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times 3, 1/9, 1 \times 1 0^{- 31} \approx 1, 0 \times 1 0^{6} m \cdot s^{- 1}$ , et

$τ = \frac{3 \times 3 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{2 \times 1 , 05 \times 1 0 ^{6}} \approx 4 \times 1 0^{- 9} s .$

Fréquence de coupure. Lorsque la tension $U_{a c}$ varie, le courant ne s'adapte qu'après le renouvellement des électrons en transit, c'est-à-dire au bout d'une durée de l'ordre de $τ$ . Le seul temps caractéristique du problème étant $τ$ , l'analyse dimensionnelle donne une fréquence de coupure

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