Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MPI — Partie B (I) (Q19 à Q25) : Filament de tungstène : effet Joule, bilan radiatif, température d'équilibre, durée de chauffe, loi de Wien

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le filament qui chauffe la cathode est un fil cylindrique homogène de tungstène, de longueur $L = 4, 0 cm$ et de rayon $r_{f} = 0, 20 mm$ , alimenté sous la tension continue $U_{f} = 1, 5 V$ (la baisse de conductivité du métal avec la température est ignorée). Conductivité électrique $γ$ , masse volumique $μ_{W}$ , capacité thermique massique $c$ , conductivité thermique $λ$ , toutes supposées indépendantes de la température. Le tube est sous vide.

On admet que la loi de Stefan $ϕ = σ T^{4}$ s'applique à tous les éléments du tube (filament, cathode, anode), $T$ étant la température de surface.

$γ = 8, 9 \times 1 0^{6} S \cdot m^{- 1}$	$μ_{W} = 1, 9 \times 1 0^{4} kg \cdot m^{- 3}$
$λ = 1, 7 \times 1 0^{2} W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$	$c = 1, 3 \times 1 0^{2} J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$

Constante de Stefan $σ = 5, 7 \times 1 0^{- 8} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 4}$ ; loi de Wien $λ_{m a x} T = 2, 9 mm \cdot K$ .

Q19. Expression et valeur de la résistance $R_{f}$ du filament ; puissance électrique $P_{e ˊ l}$ reçue.
Q20. Modes de transfert thermique possibles ; lequel chauffe la cathode (justifier) ?
Q21. Signification de $ϕ$ .
Q22. Par un bilan d'énergie entre $t$ et $t + d t$ , établir l'équation différentielle vérifiée par la température $T (t)$ , supposée uniforme, du filament (flux reçu de l'extérieur négligé).
Q23. Expression et valeur de la température d'équilibre $T_{e ˊ q}$ .
Q24. Ordre de grandeur de la durée nécessaire pour atteindre $T_{e ˊ q}$ ; commenter pour un amplificateur audio à tubes.
Q25. Couleur du filament chaud.

Corrigé

Q19. Le filament est un conducteur ohmique filiforme de section $s = π r_{f}^{2}$ et de longueur $L$ ; sa résistance est

$R_{f} = \frac{L}{γ π r _{f}^{2}} = \frac{4 , 0 \times 1 0 ^{- 2}}{8 , 9 \times 1 0 ^{6} \times π \times ( 2 , 0 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2}} \approx 3, 6 \times 1 0^{- 2} Ω .$

Sous la tension continue $U_{f}$ , il reçoit par effet Joule la puissance

$P_{e ˊ l} = \frac{U _{f}^{2}}{R _{f}} = \frac{γ π r _{f}^{2} U _{f}^{2}}{L} = \frac{1 , 5 ^{2}}{3 , 58 \times 1 0 ^{- 2}} \approx 63 W,$

parcouru par un courant $U_{f} / R_{f} \approx 42 A$ . (Ces valeurs sont très supérieures à celles d'un tube réel, dont le filament dissipe environ $2 W$ : l'énoncé garde la conductivité du tungstène froid, alors que $γ$ chute d'un ordre de grandeur à $2000 K$ ; c'est cette baisse qui oblige, en pratique, à alimenter les filaments sous $6$ ou $12 V$ .)

Q20. Les trois modes de transfert thermique sont la conduction (diffusion de proche en proche dans la matière, sans mouvement d'ensemble), la convection (transport d'énergie par le mouvement d'ensemble d'un fluide) et le rayonnement (émission et absorption d'ondes électromagnétiques). Entre le filament et la cathode règne le vide : il n'y a ni matière pour conduire la chaleur, ni fluide pour la convecter. Seul le rayonnement, qui se propage dans le vide, transfère l'énergie du filament à la cathode qui l'entoure.

Q21. $ϕ = σ T^{4}$ est l'exitance du corps noir : la puissance rayonnée par unité de surface émettrice, intégrée sur toutes les longueurs d'onde et toutes les directions d'émission, en $W \cdot m^{- 2}$ . Un élément de surface $d S$ à la température $T$ émet la puissance $σ T^{4} d S$ .

Ce que le correcteur attend : le mot « surfacique » (puissance par unité de surface), absent de près de quatre copies sur dix selon le jury.

Q22. Système : le filament, solide indilatable, de masse $M = μ_{W} π r_{f}^{2} L$ et de température uniforme $T (t)$ ; son énergie interne varie de $d U = M c d T$ . Échanges entre $t$ et $t + d t$ :

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