Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MPI — Partie B (II) (Q26 à Q30) : Émission thermoïonique : constante de Richardson par analyse dimensionnelle, température de la cathode, courant de saturation

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Loi de Richardson : un métal à la température $T$ émet des électrons avec une densité de courant

$j = A T^{2} exp (- \frac{W}{k _{B} T}),$

où $W$ est le travail de sortie (barrière d'énergie, de nature électrique, que doit franchir l'électron pour quitter le métal) et $A$ une constante liée au processus microscopique d'émission (électrons de masse $m$ et de charge $e$ ).

Cathode et anode sont en nickel, $W_{Ni} = 4, 6 eV$ ; la face de la cathode tournée vers l'anode est recouverte d'une fine couche d'oxyde de baryum, $W_{BaO} = 2, 0 eV$ (valeurs indépendantes de $T$ ). Régime stationnaire. On reprend les données des parties précédentes : cathode de rayon $r_{1} = 2, 0 mm$ , anode de rayon $r_{2} = 5, 0 mm$ , hauteur $H = 45 mm$ , puissance du filament $P_{e ˊ l}$ (Q19), loi de Stefan, $β = 2, 2 \times 1 0^{- 4}$ USI.

Données : $k_{B} = 1, 4 \times 1 0^{- 23} J \cdot K^{- 1}$ , $h = 6, 6 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ , $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , $m = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ , $σ = 5, 7 \times 1 0^{- 8} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 4}$ .

Q26. Pourquoi la constante de Planck $h$ est-elle susceptible d'intervenir dans $A$ , en plus de $m$ , $e$ et $k_{B}$ ?
Q27. Par analyse dimensionnelle, exprimer $A$ en fonction de $m$ , $e$ , $k_{B}$ et $h$ (facteur numérique admis égal à $4 π$ ) ; valeur numérique.
Q28. La cathode reçoit toute la puissance émise par le filament (autres transferts reçus négligés) : déterminer sa température $T_{c}$ .
Q29. Calculer l'intensité $I_{th-F}$ émise par la cathode côté filament et l'intensité $I_{th-A}$ émise côté anode ; comparer $I_{th-A}$ à $I_{a}^{0} = 1, 2 mA$ et commenter.
Q30. Reprendre, en le justifiant, le tracé de la caractéristique de Q12.

Corrigé

Q26. L'émission d'électrons par un métal chauffé met en jeu les électrons de conduction du métal, dont la description correcte relève de la mécanique quantique : leurs états d'énergie sont quantifiés et leur répartition obéit à une statistique quantique (celle de Fermi--Dirac), où le nombre d'états accessibles fait intervenir $h$ . Il est donc naturel que $h$ apparaisse dans $A$ .

L'analyse dimensionnelle le confirme : $[A] = A \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 2}$ contient une longueur, alors qu'avec $m$ ( $kg$ ), $e$ ( $A \cdot s$ ) et $k_{B}$ ( $kg \cdot m^{2} \cdot s^{- 2} \cdot K^{- 1}$ ) seuls, la seule façon d'obtenir $K^{- 2}$ et $A^{1}$ impose le produit $e k_{B}^{2}$ , dont la dépendance en mètres ( $m^{4}$ ) et en secondes ne peut plus être corrigée par $m$ , qui ne contient que des kilogrammes. Il manque une constante : $h$ .

Q27. Cherchons $A = C m^{a} e^{b} k_{B}^{c} h^{d}$ , avec $C$ sans dimension. En unités de base ( $h$ en $kg \cdot m^{2} \cdot s^{- 1}$ ) :

$kg^{a} (A \cdot s)^{b} (kg \cdot m^{2} \cdot s^{- 2} \cdot K^{- 1})^{c} (kg \cdot m^{2} \cdot s^{- 1})^{d} = A \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 2} .$

Par identification des exposants :

$⎩ ⎨ ⎧ A : K : m : kg : s : b = 1 - c = - 2 2 c + 2 d = - 2 a + c + d = 0 b - 2 c - d = 0 ⟹ b = 1, c = 2, d = - 3, a = 1,$

la dernière équation ( $1 - 4 + 3 = 0$ ) servant de vérification. Avec le facteur $4 π$ admis :

$A = \frac{4 π m e k _{B}^{2}}{h ^{3}}$

soit

$A = \frac{4 π \times 9 , 1 \times 1 0 ^{- 31} \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times ( 1 , 4 \times 1 0 ^{- 23} ) ^{2}}{( 6 , 6 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{3}} \approx 1, 2 \times 1 0^{6} A \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 2} .$

C'est la constante de Richardson (la valeur théorique tabulée est $1, 20 \times 1 0^{6}$ SI).

Ce que le correcteur attend : la démarche (système d'équations sur les exposants) ; un résultat donné sans justification ne rapporte rien, même juste.

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