Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MPI — Partie C (III et IV) (Q37 à Q42) : Triode linéarisée : pente, résistance interne, coefficient d'amplification, gain de l'étage

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reprend l'amplificateur de la figure 7, polarisé en $I_{a}^{0} = 1, 2 mA$ , $U_{a c}^{0} = 2, 5 \times 1 0^{2} V$ , $U_{g c}^{0}$ , avec les résistances $R_{a}$ et $R_{c}$ trouvées en Q35 ; la triode obéit à $I_{a} = β^{'} (μ U_{g c} + U_{a c})^{3/2}$ ( $β^{'} = 3, 3 \times 1 0^{- 6}$ USI, $μ = 100$ , $I_{g} = 0$ ) ; $v_{e}$ est de fréquence $f = 1, 0 kHz$ .

III – Étape 2 : linéarisation.

On pose $U_{g c} = U_{g c}^{0} + u_{g c}$ , $U_{a c} = U_{a c}^{0} + u_{a c}$ , $I_{a} = I_{a}^{0} + i_{a}$ , les petites variations étant d'ordre 1.

Q37. Argument numérique autorisant l'emploi de la caractéristique statique $I_{a} (U_{g c}, U_{a c})$ en régime variable.
Q38. Montrer qu'à l'ordre 1, $i_{a} = g_{m} u_{g c} + \frac{1}{r _{a}} u_{a c}$ (relation (1)) ; exprimer $g_{m}$ et $r_{a}$ en fonction de $β^{'}$ , $μ$ , $I_{a}^{0}$ .
Q39. Exprimer $g_{m} r_{a}$ et commenter.
Q40. Valeurs numériques de $g_{m}$ et $r_{a}$ .

IV – Étape 3 : gain.

Pour les signaux variables, $C_{e}$ et $C_{c}$ se comportent comme des fils, et la source continue $V_{cc}$ aussi (variation de tension nulle) : le circuit équivalent est celui de la figure 8, où $u_{g c}$ , $u_{a c}$ et $i_{a}$ vérifient la relation (1).

Figure 8 — Circuit équivalent en régime variable.

Q41. Montrer que $v_{s} = A_{V} v_{e}$ ; exprimer $A_{V}$ en fonction de $g_{m}$ , $r_{a}$ , $R_{a}$ ; commenter le signe ; valeur en décimal et en décibels.
Q42. La source $v_{e}$ a en réalité une résistance de sortie $r_{e} = 50 Ω$ : comment choisir $R_{g}$ pour ne pas altérer $A_{V}$ (justifier) ?

Corrigé

Q37. La caractéristique $I_{a} (U_{g c}, U_{a c})$ a été établie en régime stationnaire. Elle reste valable à chaque instant en régime variable si la triode répond « instantanément », c'est-à-dire si les électrons traversent l'espace cathode--anode en un temps très court devant la période du signal : le courant est alors à chaque instant celui du régime stationnaire correspondant aux tensions de cet instant (régime quasi stationnaire).

Argument numérique : le temps de vol est de l'ordre de la nanoseconde ( $τ \approx 4 ns$ en Q14 sous quelques volts, moins encore sous $2, 5 \times 1 0^{2} V$ ), alors que la période du signal est $T = 1/ f = 1, 0 ms$ : $τ / T \sim 1 0^{- 6}$ . De manière équivalente, $f = 1, 0 kHz$ est très inférieure à la fréquence de coupure $f_{c} \sim 1/ τ \sim 1 0^{8} Hz$ . (Et la longueur d'onde associée, $c / f = 3 \times 1 0^{5} m$ , est immense devant le tube : l'ARQS est largement vérifiée.)

Ce que le correcteur attend : une comparaison de temps (ou de fréquences), et non de tensions ; le jury signale que c'est le point le plus souvent manqué.

Q38. Posons $X = μ U_{g c} + U_{a c}$ , de valeur au repos $X_{0} = μ U_{g c}^{0} + U_{a c}^{0} = (I_{a}^{0} / β^{'})^{2/3}$ . Le développement de Taylor à l'ordre 1 de $I_{a} = β^{'} X^{3/2}$ autour du point de fonctionnement s'écrit

$I_{a}^{0} + i_{a} = I_{a}^{0} + \frac{\partial I _{a}}{\partial U _{g c}} u_{g c} + \frac{\partial I _{a}}{\partial U _{a c}} u_{a c}, \frac{\partial I _{a}}{\partial U _{g c}} = \frac{3}{2} μ β^{'} X_{0}^{1/2}, \frac{\partial I _{a}}{\partial U _{a c}} = \frac{3}{2} β^{'} X_{0}^{1/2} .$

On obtient bien la relation (1), avec $β^{'} X_{0}^{1/2} = β^{'} (I_{a}^{0} / β^{'})^{1/3} = β^{' 2/3} (I_{a}^{0})^{1/3}$ :

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