Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 MPI — Partie C (V) (Q43 à Q46) : Distorsion harmonique de rang 2 de l'amplificateur à triode

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On quantifie la non-linéarité de l'amplificateur des figures 7 et 8, en ne considérant que celle de la caractéristique de la triode, $I_{a} = β^{'} (μ U_{g c} + U_{a c})^{3/2}$ , vis-à-vis de $U_{g c}$ . Mêmes notations et mêmes valeurs qu'aux questions Q38 à Q41 : point de fonctionnement $I_{a}^{0} = 1, 2 mA$ , $U_{a c}^{0} = 2, 5 \times 1 0^{2} V$ , pente $g_{m}$ , résistance interne $r_{a}$ , résistance d'anode $R_{a}$ , $β^{'} = 3, 3 \times 1 0^{- 6}$ USI, $μ = 100$ ; en régime variable, $u_{g c} = v_{e}$ et $u_{a c} = v_{s}$ .

La distorsion harmonique de rang $n$ , $D H_{n}$ , est le rapport de l'amplitude de l'harmonique de rang $n$ à celle du fondamental, exprimé en pourcentage.

Q43. En reprenant Q38 à l'ordre 2 en $u_{g c}$ , établir $i_{a} = g_{m} u_{g c} + ξ u_{g c}^{2} + \frac{1}{r _{a}} u_{a c}$ (relation (2)) ; exprimer $ξ$ en fonction de $μ$ , $β^{'}$ , $I_{a}^{0}$ ; valeur numérique.
Q44. Exprimer $v_{s} (t)$ en fonction de $v_{e} (t)$ , $v_{e} (t)^{2}$ et des autres grandeurs utiles.
Q45. Pour $v_{e} (t) = U sin (ω t)$ , montrer que $v_{s}$ comporte plusieurs composantes spectrales et les caractériser.
Q46. Calculer $D H_{2}$ pour $U = 0, 1 V$ , $0, 3 V$ et $0, 5 V$ ; commenter.

Corrigé

Q43. Avec $X = μ U_{g c} + U_{a c}$ et $X_{0} = (I_{a}^{0} / β^{'})^{2/3} = 51 V$ (Q40), on développe $I_{a} = β^{'} X^{3/2}$ à l'ordre 2 en $u_{g c}$ , à l'ordre 1 en $u_{a c}$ (on ne retient, comme le demande l'énoncé, que la non-linéarité vis-à-vis de $U_{g c}$ ) :

$i_{a} = \frac{\partial I _{a}}{\partial U _{g c}} u_{g c} + \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2} I _{a}}{\partial U _{g c}^{2}} u_{g c}^{2} + \frac{\partial I _{a}}{\partial U _{a c}} u_{a c}, \frac{\partial ^{2} I _{a}}{\partial U _{g c}^{2}} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} μ^{2} β^{'} X_{0}^{- 1/2} = \frac{3}{4} μ^{2} β^{'} X_{0}^{- 1/2} .$

Les dérivées premières étant celles de Q38, on obtient la relation (2) avec $ξ = \frac{3}{8} μ^{2} β^{'} X_{0}^{- 1/2}$ et $X_{0}^{- 1/2} = (β^{'} / I_{a}^{0})^{1/3}$ :

$ξ = \frac{3}{8} μ^{2} β^{' 4/3} (I_{a}^{0})^{- 1/3}, ξ = \frac{3}{8} \times 10 0^{2} \times \frac{3 , 3 \times 1 0 ^{- 6}}{51} \approx 1, 7 \times 1 0^{- 3} A \cdot V^{- 2} .$

$ξ > 0$ : la caractéristique est convexe en $U_{g c}$ . Pratique pour la suite : $\frac{ξ}{g _{m}} = \frac{μ}{4 X _{0}}$ .

Q44. Le circuit est celui de la figure 8 : $u_{g c} = v_{e}$ , $u_{a c} = v_{s}$ et $v_{s} = - R_{a} i_{a}$ (Q41). En reportant dans (2) :

$\frac{- v _{s}}{R _{a}} = g_{m} v_{e} + ξ v_{e}^{2} + \frac{v _{s}}{r _{a}} ⟹ v_{s} (t) = - \frac{R _{a} r _{a}}{R _{a} + r _{a}} (g_{m} v_{e} (t) + ξ v_{e} (t)^{2}),$

soit $v_{s} (t) = A_{V} v_{e} (t) + A_{V} \frac{ξ}{g _{m}} v_{e} (t)^{2}$ , où $A_{V} = - g_{m} R_{a} r_{a} / (R_{a} + r_{a}) \approx - 74$ est le gain de Q41. On note $R = R_{a} r_{a} / (R_{a} + r_{a}) = 21 kΩ$ .

Q45. Avec $v_{e} = U sin (ω t)$ et $sin^{2} (ω t) = \frac{1}{2} (1 - cos (2 ω t))$ :

$v_{s} (t) = - \frac{R ξ U ^{2}}{2} - R g_{m} U sin (ω t) + \frac{R ξ U ^{2}}{2} cos (2 ω t) .$

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