Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 PSI — Partie I.1-I.2 (Q1 à Q5) : Supercondensateur à double couche : modèle de Helmholtz et constante de temps

Vélo hybride : un pack de supercondensateurs (récupération rapide de l'énergie) associé à une petite batterie lithium-ion de $80\mathrm{Wh}$ ; roues de rayon $R_{\mathrm{r}}=0,35\mathrm{m}$ (figure 1 : photo du vélo et de ses éléments).

{Figure 2 — Schéma de fonctionnement du vélo hybride (MSAP : moteur synchrone à aimants permanents)}

Modèle unidimensionnel d'axe $(Ox)$ : électrodes en $x=\pm a$, de surface $S$ ($\sqrt{S}\gg a$), séparées par une solution ionique de permittivité ${\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{r}}$. Chaque double couche est modélisée par un plan de charge surfacique $\mp {\sigma }^{\prime }$ à la distance $\delta \ll a$ de l'électrode ($\delta \sim 10\mathrm{nm}$, $a\gtrsim 1\mu \mathrm{m}$).

{Figure 3 — Condensateur à double couche}

Q1. Champ ${\overrightarrow{E}}_{\mathrm{p}}$ d'un plan infini de charge surfacique $\sigma$ ; en déduire le champ $\overrightarrow{E}$ pour $-a<x<a$.
Q2. Par le potentiel, montrer que $U=\frac{2a}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{r}}}\sigma -\frac{2(a-\delta )}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{r}}}{\sigma }^{\prime }$.
Q3. Justifier ${\sigma }^{\prime }=\sigma$ en régime indépendant du temps ; capacité $C_0$ ; comparer à celle du même condensateur à air.

Échelon de tension $U$ à $t=0$, avec ${\sigma }^{\prime }(0)=0$. La solution a la conductivité $\gamma$ ; les doubles couches ($-a<x<-a+\delta$ et $a-\delta <x<a$) sont isolantes.

Q4. Par un bilan de charge sur le plan $x=a-\delta$, montrer que $\frac{\mathrm{d}{q}^{\prime }}{\mathrm{d}t}=\gamma \frac{\sigma -{\sigma }^{\prime }(t)}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{r}}}S$.
Q5. En déduire $\frac{\mathrm{d}{\sigma }^{\prime }}{\mathrm{d}t}+\frac{\delta \gamma }{a{\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{r}}}{\sigma }^{\prime }=\frac{\gamma }{2a}U$ ; temps caractéristique $\tau$ ; résistance $R_0$ du modèle « $C_0$ en série avec $R_0$ ».