Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 PSI — Partie I.3 (Q6 à Q7) : Caractérisation d'une cellule et dimensionnement du pack de supercondensateurs

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une cellule est modélisée par $C_{0}$ en série avec $R_{0}$ (Q5). On la décharge à courant imposé par une source idéale (figure 4) ; la figure 5 donne la tension $U$ et l'intensité $I$ relevées.

{Figure 4 — Modèle de la cellule (cadre en tirets) et source idéale}

{Figure 5 — Essai de décharge : $U (t)$ en haut (bleu), $I (t)$ en bas (rouge)}

Q6. Déterminer $R_{0}$ et $C_{0}$ ( $V_{N}$ : tension nominale d'une cellule).

Figure 6 : photo d'une cellule cylindrique marquée « $3, 0 V$ , $330 F$ , $0, 4 Wh$ ». On ne décharge pas une cellule sous la moitié de sa tension nominale.

Masse	$70 g$
Hauteur	$62, 7 mm$
Diamètre	$35, 2 mm$
Courant maximal	$33 A$

{Figure 7 — Caractéristiques de la cellule}

Exigences : le pack alimente un moteur de $250 W$ sous $36 V$ ; sans la batterie, il doit permettre de gravir $60 m$ de dénivelé avec une assistance de $50%$ (énergie fournie par le pack rapportée à l'énergie fournie par le cycliste). Données : $M_{v e ˊ lo} = 20 kg$ , $M_{cycliste} = 80 kg$ , $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ .

Q7. Hypothèses à l'appui, estimer le nombre de cellules du pack et leur association (série, parallèle).

Corrigé

Q6. Conventions. Sur la figure 4, $I$ entre dans la cellule par la borne où pointe la flèche de $U$ : convention récepteur. En notant $u_{C}$ la tension aux bornes de $C_{0}$ (même orientation que $U$ ), la loi des mailles et les lois des dipôles donnent

$U = u_{C} + R_{0} I, I = C_{0} \frac{d u _{C}}{d t} .$

L'essai est une décharge : $I = - 33 A$ sur $[0, T]$ , nul ailleurs.

Résistance. La tension d'un condensateur est continue : aux deux discontinuités de $I$ (en $t = 0$ et en $t = T$ ), seul le terme $R_{0} I$ saute. En $t = 0$ , $U$ passe de $V_{1}$ à $V_{2}$ quand $I$ passe de $0$ à $- 33 A$ :

$R_{0} = \frac{V _{1} - V _{2}}{∣ I ∣} = \frac{3 , 00 - 2 , 95}{33} Ω = 1, 5 \times 1 0^{- 3} Ω = 1, 5 mΩ .$

Le saut en $T$ ( $V_{4} - V_{3} = 0, 05 V$ ) donne la même valeur : le modèle est cohérent.

Capacité. Sur $] 0, T [$ , $I$ est constant : $u_{C}$ , donc $U$ , décroît linéairement de $∣ I ∣ T / C_{0}$ . Entre $t = 0^{+}$ ( $V_{2}$ ) et $t = T^{-}$ ( $V_{3}$ ) :

$C_{0} = \frac{∣ I ∣ T}{V _{2} - V _{3}} = \frac{33 \times 14 , 5}{2 , 95 - 1 , 50} F = 3, 3 \times 1 0^{2} F .$

On retrouve les $330 F$ inscrits sur la cellule. Énergie stockée à $V_{N}$ : $\frac{1}{2} C_{0} V_{N}^{2} = 1, 49 kJ = 0, 41 Wh$ , conforme au marquage $0, 4 Wh$ . La constante de temps $R_{0} C_{0} = 0, 5 s$ autorise des charges et décharges en quelques secondes.

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