Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 PSI — Partie I.4 (Q8 à Q14) : Hacheur SEPIC : gain, rapport cyclique et dimensionnement des composants

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La tension du pack varie fortement : un hacheur SEPIC (figure 8) le relie au reste de l'électronique.

{Figure 8 — Le convertisseur SEPIC ( $K_{1}$ commandé, $K_{2}$ diode)}

Hypothèses : découpage à $f = 300 kHz$ , rapport cyclique $α$ ; $K_{1}$ fermé et $K_{2}$ ouvert sur $[0, α T]$ , l'inverse sur $[α T, T]$ ; régime périodique établi ; composants idéaux ; $V_{s} = 36 V$ ; $V_{e}$ constante entre $27$ et $54 V$ ; $I_{s} = 10 A$ constant ; ondulations tolérées : $10%$ sur $I_{e}$ , $1%$ sur $V_{s}$ .

Q8. Par un bilan de puissance, valeur moyenne maximale $I_{e, max}$ du courant d'entrée.
Q9. Montrer que $⟨ V_{L_{1}} ⟩ = ⟨ V_{L_{2}} ⟩ = 0$ ; en déduire $⟨ V_{C_{1}} ⟩$ . On prend ensuite $V_{C_{1}} (t) ≃ ⟨ V_{C_{1}} ⟩$ .
Q10. Tracer le chronogramme de $V_{L_{2}} (t)$ .
Q11. Gain $V_{s} / V_{e}$ en fonction de $α$ ; intérêt du SEPIC.

Avec la résistance interne $R_{L} = 0, 1 R_{C}$ de la bobine $L_{1}$ , le gain devient (figure 9)

$\frac{V _{s}}{V _{e}} = \frac{α}{( 1 - α ) ( 1 + \frac{R _{L}}{R _{C}} \frac{1}{( 1 - α ) ^{2}} )} .$

{Figure 9 — Gain en fonction du rapport cyclique}

Q12. Valeurs extrêmes de $α$ pour les valeurs extrêmes de $V_{e}$ ; commenter ; que se passerait-il si les supercondensateurs se déchargeaient totalement ?

On prend ensuite $α = 0, 4$ pour $V_{e} = 54 V$ et $α = 0, 6$ pour $V_{e} = 27 V$ (le sujet imprime « $V_{s} = 27 V$ » : coquille, $V_{s}$ vaut $36 V$ et c'est la tension d'entrée qui vaut $27 V$ ).

Q13. Inductance $L_{1}$ minimale pour une ondulation de $I_{e}$ inférieure à $10%$ de sa moyenne sur toute la plage $[27 V; 54 V]$ .
Q14. $I_{s}$ constant : $C_{2}$ minimale limitant l'ondulation de $V_{s}$ à $1%$ de $36 V$ , pour $V_{e} = 36 V$ .

Corrigé

Repérage. On note $A$ le nœud commun à $L_{1}$ , $K_{1}$ et $C_{1}$ , $B$ le nœud commun à $C_{1}$ , $L_{2}$ et l'anode de $K_{2}$ , la masse étant le fil du bas. Avec les orientations de la figure 8 : $V_{L_{1}} = V_{e} - V_{A}$ (convention récepteur, $I_{e}$ traverse $L_{1}$ vers $A$ ), $V_{C_{1}} = V_{A} - V_{B}$ , $V_{L_{2}} = V_{B}$ , $V_{s} = V_{C_{2}}$ .

Q8. Bilan de puissance moyenne sur une période, en régime périodique établi :

la source fournit $⟨ V_{e} I_{e} ⟩ = V_{e} ⟨ I_{e} ⟩$ ( $V_{e}$ constante) ;
la charge reçoit $V_{s} I_{s}$ (ondulation de $V_{s}$ négligée) ;
les interrupteurs idéaux ne dissipent rien (tension nulle ou courant nul) ;
bobines et condensateurs reçoivent une puissance moyenne nulle : leur énergie, $\frac{1}{2} L i^{2}$ ou $\frac{1}{2} C u^{2}$ , reprend la même valeur à chaque période.

$V_{e} ⟨ I_{e} ⟩ = V_{s} I_{s} ⟹ I_{e, max} = \frac{V _{s} I _{s}}{V _{e, min}} = \frac{36 \times 10}{27} A = 13, 3 A .$

Le courant demandé au pack est maximal quand il est le plus déchargé ; il reste sous les $33 A$ admissibles par une cellule.

Q9. Pour une bobine, $V_{L} = L \frac{d i _{L}}{d t}$ , d'où

$⟨ V_{L} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} L \frac{d i _{L}}{d t} d t = \frac{L}{T} (i_{L} (T) - i_{L} (0)) = 0$

puisqu'en régime périodique établi $i_{L} (T) = i_{L} (0)$ . Donc $⟨ V_{L_{1}} ⟩ = ⟨ V_{L_{2}} ⟩ = 0$ .

Loi des mailles sur la maille source, $L_{1}$ , $C_{1}$ , $L_{2}$ : $V_{e} = V_{L_{1}} + V_{C_{1}} + V_{L_{2}}$ à chaque instant. En valeur moyenne :

$⟨ V_{C_{1}} ⟩ = V_{e} .$

Q10. Avec $V_{C_{1}} = V_{e}$ :

sur $[0, α T]$ : $K_{1}$ fermé, $V_{A} = 0$ , donc $V_{B} = V_{A} - V_{C_{1}} = - V_{e}$ et $V_{L_{2}} = - V_{e}$ . La diode est bien bloquée : $V_{B} - V_{s} = - (V_{e} + V_{s}) < 0$ ;
sur $[α T, T]$ : $K_{2}$ passant, $V_{B} = V_{s}$ , donc $V_{L_{2}} = V_{s}$ (et $V_{A} = V_{e} + V_{s}$ : $K_{1}$ ouvert supporte $V_{e} + V_{s}$ ).

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