Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 PSI — Partie II.1 (suite) (Q19 à Q24) : Modèle à grain rétrécissant : transport dans le film et régime chimique

Seconde étape de lixiviation, réaction à solide consommable : $\mathrm{HCl}$ est noté $\mathrm{A}(\mathrm{aq})$, $\mathrm{Li}{}_{1/\mathrm{m}}\mathrm{MO}{}_2(\mathrm{s})$ est noté $\mathrm{B}(\mathrm{s})$, et le bilan s'écrit $\mathrm{A}(\mathrm{aq})+\nu \mathrm{B}(\mathrm{s})⟶\text{produits}$. Les grains sont des sphères de rayon initial $R_0=15,0\mu \mathrm{m}$ et de rayon $R(t)$ ; le réactif traverse un film externe limite, puis réagit sur le front de réaction (surface du grain).

{Figure 13 — Profil de concentration du réactif aqueux autour d'un grain (coordonnée sphérique $r$)}

Flux molaire de $\mathrm{A}$ traversant le film jusqu'au front : $F_{\mathrm{A}}=k_{\mathrm{D}}S(C_{\mathrm{A}}-C_{\mathrm{Af}})$, avec $C_{\mathrm{A}}$ la concentration hors de la couche limite (constante), $C_{\mathrm{Af}}$ celle au front ($r=R$), $S$ l'aire de la sphère de rayon $R(t)$ et la conductance de transfert $k_{\mathrm{D}}=D/R(t)$, $D=1,25\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

Q19. Justifier qualitativement cette loi.

Réaction d'ordre 1 en $\mathrm{A}$ et 0 en $\mathrm{B}$ : la quantité de $\mathrm{A}$ consommée par unité de temps est $F_{\mathrm{AC}}=k_{\mathrm{C}}S{C}_{\mathrm{Af}}$, $k_{\mathrm{C}}=1,00\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

Q20. On admet $F_{\mathrm{A}}=F_{\mathrm{AC}}$ : interpréter ; montrer que $F_{\mathrm{A}}=-\frac{1}{\nu }\frac{\mathrm{d}{N}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{d}t}$ ($N_{\mathrm{B}}$ : quantité de solide $\mathrm{B}$).
Q21. Écrire $F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}}/R_{\text{eˊq}}$ ; exprimer la « résistance de diffusion » $R_{\text{eˊq}}$ en fonction de $D$, $k_{\mathrm{C}}$ et $R$.
Q22. Exprimer $N_{\mathrm{B}}(R)$ en fonction de la masse volumique ${\rho }_{\mathrm{B}}$, de la masse molaire $M_{\mathrm{B}}$ et de $R$.
Q23. Établir l'équation différentielle vérifiée par $R$, puis la relation suivante ; exprimer ${\tau }_{\text{film}}$ et ${\tau }_{\text{cin}}$ :

$$t={\tau }_{\text{film}}\left(1-{\left(\frac{R}{R_0}\right)}^2\right)+{\tau }_{\text{cin}}\left(1-\frac{R}{R_0}\right).$$

Q24. Calculer ${\tau }_{\text{cin}}/{\tau }_{\text{film}}$ : contrôle cinétique ou convectif ?