Corrigé Centrale 2025 Physique-chimie 2 PSI — Partie III.1 (Q29 à Q35) : Moteur-roue synchrone à aimants : champ d'entrefer, énergie et couple

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique-chimie 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le moteur doit pouvoir délivrer un couple de $50 N \cdot m$ . Moteur « outrunner » : le stator est au centre, le rotor extérieur porte $2$ paires d'aimants d'aimantations $M_{i}$ radiales de même norme $M_{0}$ (dans un aimant, $B = μ_{0} (H + M)$ ). Rotor et stator (hors aimants) sont en matériau ferromagnétique linéaire de $μ_{r}$ infinie, séparés par un entrefer d'épaisseur constante $l_{e}$ et de perméabilité relative $1$ ; hauteur commune $h$ , invariance par translation selon $(O z)$ . Rotor d'abord fixe.

{Figure 14 — Moteur à $2$ paires d'aimants (gris moyen : fer ; aimants : foncé côté N, clair côté S ; épaisseurs non à l'échelle)}

Q29. Recopier le schéma et tracer l'allure orientée des lignes de champ créées par le rotor, en justifiant (on peut remplacer chaque aimant par une spire de courant).
Q30. $B_{r} (θ) = B \cdot e_{r}$ dans l'entrefer : parité, période, tracé sur $[- π, π]$ ; $B_{M}$ désigne sa norme, uniforme.

On prend $B_{M} = 1, 0 T$ et l'on confond $B_{r} (θ)$ avec son fondamental de Fourier, d'amplitude $B_{1} = \frac{4}{π} B_{M}$ . Le rotor tourne d'un angle $θ_{r} (t)$ ( $θ_{r} = 0$ sur la figure 14).

Q31. Montrer que $B_{r} (θ, t) = B_{1} cos [2 (θ - θ_{r} (t))] e_{r}$ .

Le stator, à $p$ paires de bobines, crée dans l'entrefer $B_{s} (θ, t) = B_{0} cos (pθ - ω t) e_{r}$ , $B_{0} = 1, 0 T$ . Volume de l'entrefer : $V_{e} = 2 π R_{s} h l_{e}$ . Données : $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H \cdot m^{- 1}$ , $R_{s} = 4, 5 cm$ , $h = 2, 0 cm$ , $l_{e} = 0, 7 mm$ .

Q32. Énergie magnétique $E_{em}$ de l'entrefer ; pour quel $p$ dépend-elle de $θ_{r}$ ? (On garde ensuite cette valeur.)
Q33. Couple $Γ = Γ \cdot e_{z} = \frac{\partial E _{em}}{\partial θ _{r}}$ exercé sur le rotor.
Q34. $θ_{r} (t) = Ω t - α$ : pour quelle vitesse $Ω$ le couple moyen est-il non nul ?
Q35. Couple maximal (application numérique) ; comment atteindre $Γ_{max} = 50 N \cdot m$ , sachant qu'on peut loger au plus $8$ paires de pôles ? La figure 15 (photo, vue éclatée) montre flasque, roulement, stator bobiné, rotor, pignon fixé au rotor, train planétaire et carter.

Corrigé

Q29. Modèle. Un aimant uniformément aimanté équivaut à une nappe de courants d'aimantation sur sa surface latérale, soit une spire (allongée selon $(O z)$ ) de moment orienté comme $M_{i}$ ; le champ est celui de ces quatre spires, canalisé par le fer.

Symétries (le champ magnétique est un pseudo-vecteur) :

les plans $(x O z)$ et $(y O z)$ sont des plans d'antisymétrie des courants (le reflet de la spire $M_{2}$ par $(x O z)$ est l'opposé de $M_{4}$ ) : en leurs points, $B$ est contenu dans le plan, donc radial dans l'entrefer en $θ = 0$ , $π /2$ , $π$ , $- π /2$ ;
les plans bissecteurs ( $θ = \pm π /4$ , $\pm 3 π /4$ ) sont des plans de symétrie (le reflet de $M_{1}$ par le plan $θ = π /4$ est $M_{2}$ ) : en leurs points, $B$ leur est perpendiculaire, donc orthoradial ; dans l'entrefer, $B_{r} = 0$ sur ces plans.

Conditions aux limites. Dans le fer ( $μ_{r} \to \infty$ ), $H = 0$ ; la continuité de la composante tangentielle de $H$ impose que, dans l'entrefer, $B$ arrive normalement au fer : les lignes traversent l'entrefer radialement.

Allure. Dans $M_{1}$ , $B$ est dirigé comme l'aimantation (de S vers N) : les lignes sortent par la face N extérieure, se partagent dans la culasse du rotor vers $M_{2}$ et $M_{4}$ , les traversent vers l'intérieur (S extérieur vers N intérieur), franchissent radialement l'entrefer, se referment dans le stator et retraversent l'entrefer vers la face S intérieure de $M_{1}$ (et de même pour $M_{3}$ ). C'est une machine à quatre pôles :

{ (S et N : faces des aimants côté entrefer, comme sur la figure 14. En $θ = 0$ et $π$ les lignes traversent l'entrefer vers l'extérieur, du stator vers la face S de $M_{1}$ , $M_{3}$ : $B_{r} > 0$ ; en $θ = \pm π /2$ elles sortent de la face N de $M_{2}$ , $M_{4}$ vers le stator : $B_{r} < 0$ .)}

Q30. Parité. Les points $θ$ et $- θ$ sont symétriques par rapport au plan $(x O z)$ , plan d'antisymétrie : $B (- θ)$ est le symétrique de $B (θ)$ , et la composante radiale (parallèle au plan) se conserve : $B_{r} (- θ) = B_{r} (θ)$ , $B_{r}$ est paire.

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