Corrigé Centrale 2025 S2I PSI — Partie A.I (Q1 à Q3) : Vol de croisière : équilibre de l'avion et point de fonctionnement

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve S2I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'avion léger Elixir reçoit un pilote automatique qui asservit la vitesse horizontale $V_{x}$ (par la poussée $F_{M}$ du moteur et de l'hélice) et la vitesse verticale $V_{z}$ (par l'angle $β$ de la gouverne de profondeur), selon le cahier des charges de la figure 3.

Figure 3 — Diagramme d'exigences (redessiné, libellés abrégés ; trait plein : composition, tirets : « refine »).

Repères : $R_{0} = (O, x_{0}, y_{0}, z_{0})$ galiléen, $z_{0}$ verticale descendante ; $R_{A}$ aérodynamique, avec $V_{G, avion / R_{0}} = V x_{A} = V_{x} x_{0} - V_{z} z_{0}$ ; $R_{B}$ lié à l'avion ; $R_{P}$ lié à la gouverne. Vol symétrique : assiette $θ = (x_{0}, x_{B})$ , incidence $α = (x_{A}, x_{B})$ , pente $γ = (x_{0}, x_{A})$ , braquage $β = (x_{B}, x_{P})$ , tous autour de $y_{0}$ .

Actions sur l'avion (masse $m$ ) : poids $m g z_{0}$ en $G$ ; poussée $F_{M} x_{B}$ en $M$ ; en $A$ , portance $F_{P} = - \frac{1}{2} ρ (C_{z 0} + C_{z} α) S V^{2} z_{A}$ , traînée $F_{T} = - \frac{1}{2} ρ (C_{x 0} + C_{x} α) S V^{2} x_{A}$ et perturbation $F_{V} z_{A}$ ; en $B$ , portance de la gouverne $F_{B} = - \frac{1}{2} ρ [C_{p 0} + C_{p} (α + β)] S V^{2} z_{A}$ . Géométrie : $G A = - x_{A} x_{B}$ , $GB = - x_{B} x_{B} - h_{B} z_{B}$ , $GM = x_{M} x_{B}$ .

Figure 4 — Repères, paramétrage et actions mécaniques (angles exagérés).

Données ( $ρ = 0, 8 kg \cdot m^{- 3}$ à $4000 m$ , $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ , $m = 630 kg$ ) :

$C_{x 0}$	$C_{x}$	$C_{z 0}$	$C_{z}$	$C_{p 0}$	$C_{p}$	$S$
$0, 066$	$0, 26 ra d^{- 1}$	$0, 4$	$11, 6 ra d^{- 1}$	$- 0, 045$	$1, 08 ra d^{- 1}$	$8 m^{2}$

Vol de croisière stationnaire : $F_{V} = 0$ , $V = V_{x} = V_{0}$ , $V_{z} = 0$ , $β = 0$ , $γ = 0$ .

Q1. Par le principe fondamental de la statique projeté dans $R_{A}$ , exprimer $F_{M}$ en fonction de $V$ , $α$ , $ρ$ et des constantes, puis montrer que $V$ ne dépend que de $α$ , $ρ$ et des constantes.
Q2. Montrer que $α$ vérifie $1 + l_{1} tan α + (l_{2} + l_{3} tan α) α = 0$ , indépendamment de $V$ ; exprimer $l_{1}$ , $l_{2}$ , $l_{3}$ .
Q3. La résolution de Q2 donne $α = 0, 8 4^{\circ}$ . Calculer $V_{0}$ et $F_{M 0}$ ; ce point de fonctionnement est-il atteignable ?

Corrigé

Q1. Système : l'avion, considéré comme un solide. Référentiel : $R_{0}$ , galiléen. En vol stationnaire, l'avion est en translation rectiligne uniforme ( $V_{G}$ constant, $θ$ constant) : son torseur dynamique est nul et le principe fondamental de la statique s'applique.

Bilan des actions mécaniques extérieures : poids en $G$ , poussée en $M$ , portance et traînée en $A$ (la perturbation $F_{V}$ est nulle ici), portance de la gouverne en $B$ avec $β = 0$ .

Projections. Avec $γ = 0$ : $x_{0} = x_{A}$ et $z_{0} = z_{A}$ ; d'autre part $x_{B} = cos α x_{A} - sin α z_{A}$ . Le théorème de la résultante statique donne :

$sur x_{A} : F_{M} cos α - \frac{1}{2} ρ (C_{x 0} + C_{x} α) S V^{2} = 0,$

$sur z_{A} : - F_{M} sin α - \frac{1}{2} ρ (C_{z 0} + C_{z} α) S V^{2} - \frac{1}{2} ρ (C_{p 0} + C_{p} α) S V^{2} + m g = 0,$

la projection sur $y_{A}$ étant identiquement nulle. La première équation donne

$F_{M} = \frac{ρ ( C _{x 0} + C _{x} α ) S V ^{2}}{2 cos α}$

et, en reportant $F_{M} sin α = \frac{1}{2} ρ (C_{x 0} + C_{x} α) S V^{2} tan α$ dans la seconde,

$V^{2} = \frac{2 m g}{ρS [ ( C _{x 0} + C _{x} α ) tan α + C _{z 0} + C _{p 0} + ( C _{z} + C _{p} ) α ]}$

qui ne dépend que de $α$ , de $ρ$ et des constantes de l'avion. Homogénéité : $m g / (ρS)$ s'exprime en $N / (kg \cdot m^{- 1}) = m^{2} \cdot s^{- 2}$ , les coefficients aérodynamiques étant sans dimension.

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