Corrigé Centrale 2025 S2I PSI — Partie A.II-III (Q4 à Q10) : Modèle dynamique de l'avion : théorèmes généraux, linéarisation et validation

Q4. Le repère aérodynamique se déduit de $R_0$ par une rotation d'angle $\gamma$ autour de ${\overrightarrow{y}}_0$ : $\overrightarrow{\Omega }(R_A/R_0)=\dot{\gamma }{\overrightarrow{y}}_0$, d'où ${\left[\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{x}}_A}{\mathrm{d}t}\right]}_{R_0}=\dot{\gamma }{\overrightarrow{y}}_0\wedge {\overrightarrow{x}}_A=-\dot{\gamma }{\overrightarrow{z}}_A$ (base directe $({\overrightarrow{x}}_A,{\overrightarrow{y}}_A,{\overrightarrow{z}}_A)$ avec ${\overrightarrow{y}}_A={\overrightarrow{y}}_0$). En dérivant ${\overrightarrow{V}}_{G,\mathrm{avion}/R_0}=V{\overrightarrow{x}}_A$ :

$$\boxed{{\overrightarrow{\Gamma }}_{G,\mathrm{avion}/R_0}=\dot{V}{\overrightarrow{x}}_A-V\dot{\gamma }{\overrightarrow{z}}_A.}$$

Variante équivalente : en dérivant $V_x{\overrightarrow{x}}_0-V_z{\overrightarrow{z}}_0$ (base fixe) puis en projetant avec ${\overrightarrow{x}}_0=\cos \gamma {\overrightarrow{x}}_A+\sin \gamma {\overrightarrow{z}}_A$ et ${\overrightarrow{z}}_0=-\sin \gamma {\overrightarrow{x}}_A+\cos \gamma {\overrightarrow{z}}_A$, on obtient $\overrightarrow{\Gamma }=({\dot{V}}_x\cos \gamma +{\dot{V}}_z\sin \gamma ){\overrightarrow{x}}_A+({\dot{V}}_x\sin \gamma -{\dot{V}}_z\cos \gamma ){\overrightarrow{z}}_A$.

Ordre 1. $\gamma =\Delta \gamma$ est petit ; ${\dot{V}}_z\sin \gamma \approx \frac{\mathrm{d}\Delta V_z}{\mathrm{d}t}\Delta \gamma$ et ${\dot{V}}_x\sin \gamma \approx \frac{\mathrm{d}\Delta V_x}{\mathrm{d}t}\Delta \gamma$ sont d'ordre 2, et $\cos \gamma \approx 1$ :

$$\boxed{{\overrightarrow{\Gamma }}_{G,\mathrm{avion}/R_0}\approx \frac{\mathrm{d}\Delta V_x}{\mathrm{d}t}{\overrightarrow{x}}_A-\frac{\mathrm{d}\Delta V_z}{\mathrm{d}t}{\overrightarrow{z}}_A.}$$

Q5. Système : l'avion, de masse $m$ ; référentiel : $R_0$ galiléen. Actions extérieures : poids, poussée, portance et traînée, portance de la gouverne (avec $\beta$ désormais non nul) et — à ne pas oublier — la perturbation $F_V{\overrightarrow{z}}_A$. Avec ${\overrightarrow{z}}_0=-\sin \gamma {\overrightarrow{x}}_A+\cos \gamma {\overrightarrow{z}}_A$ et ${\overrightarrow{x}}_B=\cos \alpha {\overrightarrow{x}}_A-\sin \alpha {\overrightarrow{z}}_A$, le TRD $m{\overrightarrow{\Gamma }}_{G,\mathrm{avion}/R_0}=\sum {\overrightarrow{F}}_{\mathrm{ext}}$ donne :

$$\text{sur }{\overrightarrow{x}}_A:m\dot{V}=F_M\cos \alpha -\frac{1}{2}\rho (C_{x0}+C_x\alpha )S{V}^2-mg\sin \gamma ,$$

$$\begin{array}{rl}\text{sur }{\overrightarrow{z}}_A:-mV\dot{\gamma }=& -F_M\sin \alpha -\frac{1}{2}\rho (C_{z0}+C_z\alpha )S{V}^2\\ & -\frac{1}{2}\rho \left[C_{p0}+C_p(\alpha +\beta )\right]S{V}^2+mg\cos \gamma +F_V,\end{array}$$

et sur ${\overrightarrow{y}}_A$ : $0=0$ (vol symétrique).

Q6. Au premier ordre, $V=\sqrt{(V_0+\Delta V_x{)}^2+\Delta V_z^2}\approx V_0+\Delta V_x$, donc $\dot{V}\approx \frac{\mathrm{d}\Delta V_x}{\mathrm{d}t}$ et $V^2\approx V_0^2+2V_0\Delta V_x$. On développe chaque terme de l'équation selon ${\overrightarrow{x}}_A$ :

• $F_M\cos \alpha \approx F_{M0}\cos {\alpha }_0+\cos {\alpha }_0\Delta F_M-F_{M0}\sin {\alpha }_0\Delta \alpha$ ;
• $\frac{1}{2}\rho (C_{x0}+C_x\alpha )S{V}^2\approx \frac{1}{2}\rho (C_{x0}+C_x{\alpha }_0)S{V}_0^2+\frac{1}{2}\rho C_{x}S{V}_0^2\Delta \alpha +\rho (C_{x0}+C_x{\alpha }_0)S{V}_0\Delta V_x$ ;
• $mg\sin \gamma \approx mg\Delta \gamma$.

Les termes d'ordre 0 s'annulent par la relation d'équilibre admise. En divisant par $m$ :

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\Delta V_x}{\mathrm{d}t}+\frac{\rho S(C_{x0}+C_x{\alpha }_0)V_0}{m}\Delta V_x=& -g\Delta \gamma +\frac{\cos {\alpha }_0}{m}\Delta F_M\\ & -\frac{F_{M0}\sin {\alpha }_0+\frac{1}{2}\rho S{C}_x{V}_0^2}{m}\Delta \alpha ,\end{array}$$

$$\boxed{a=\frac{\rho S(C_{x0}+C_x{\alpha }_0)V_0}{m}=\frac{2F_{M0}\cos {\alpha }_0}{m{V}_0},b=\frac{\cos {\alpha }_0}{m},}$$

$$\boxed{c=\frac{F_{M0}\sin {\alpha }_0+\frac{1}{2}\rho S{C}_x{V}_0^2}{m}.}$$

Applications numériques (partie A.I) : $a\approx 4,2\times 10^{-2}{\mathrm{s}}^{-1}$, $b\approx 1,59\times 10^{-3}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, $c\approx 4,7\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}\cdot \mathrm{ra}{\mathrm{d}}^{-1}$. Homogénéité : $\rho S{V}_0/m$ est en $\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}/kg={\mathrm{s}}^{-1}$. La constante de temps $1/a\approx 24\mathrm{s}$ est celle d'un mouvement lent de vitesse, et $b\approx 1/m$ traduit l'inertie de l'avion vis-à-vis de la poussée.