Corrigé Centrale 2025 S2I PSI — Partie B (Q11 à Q14) : Chaîne cinématique de la gouverne : fermetures géométriques et dichotomie

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve S2I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le servomoteur oriente la gouverne de profondeur par un mécanisme plan (annexe C) : 0 carlingue (repère $R_{B}$ , origine $O$ ), 1 levier (pivot en $A$ ), 2 biellette $B C$ , 3 rotor du servomoteur (pivot en $D$ ), 4 bielle $B E$ , 5 tige $E G$ guidée en $F$ par un pivot glissant, 6 renvoi (pivot en $H$ ), 7 biellette $J K$ , 8 gouverne (pivot en $L$ ). Objectif : une loi linéaire entre l'angle $θ_{3}$ du servomoteur et $β$ .

Paramétrage : $O A = (0; Y_{A}; 0)_{R_{B}}$ , $O D = (X_{D}; 0; 0)_{R_{B}}$ , $O F = (X_{F}; Y_{F}; 0)_{R_{B}}$ , $O H = (X_{H}; Y_{H}; 0)_{R_{B}}$ , $O L = (X_{L}; Y_{L}; 0)_{R_{B}}$ ; longueurs $A B = L_{1}$ , $B C = L_{2}$ , $C D = L_{3}$ , $B E = L_{4}$ , $E G = L_{5}$ , $H G = H J = L_{6}$ , $J K = L_{7}$ , $L K = L_{8}$ , $F E = λ_{5} (t)$ ; angles $θ_{i} = (x_{B}, x_{i})$ autour de $z_{B}$ , $β = (x_{B}, x_{8})$ et $(x_{6}, x_{6^{'}}) = π /6$ .

Figure (annexe C) — Schéma cinématique du mécanisme (redessiné, proportions approximatives).

Q11. Proposer, sans calcul, une démarche donnant la relation entre $θ_{3}$ et $β$ .
Q12. Établir la relation entre $β$ et $θ_{6}$ sous la forme $L_{7}^{2} = (\dots)^{2} + (\dots)^{2}$ .

La fonction Python loi31(theta3, theta1) renvoie $L_{2}^{2} - B C^{2}$ , nulle lorsque la fermeture $A B C D$ est vérifiée. Avec la signature dichotomie(f, y, xmin, xmax, epsilon), qui cherche $x$ tel que $f (x, y) = 0$ sur $[x_{m i n}, x_{m a x}]$ à $ε$ près, l'appel dichotomie(loi31, -1.3, 0, np.pi, 1e-3) renvoie 0.829117.

Q13. Écrire la fonction dichotomie, qui donne $θ_{3}$ pour une valeur de $θ_{1}$ .

Figure 5 — Angle $β$ de la gouverne en fonction de l'angle $θ_{3}$ du servomoteur (à droite : zoom).

Q14. Proposer, sur le domaine de fonctionnement, une loi linéaire approchée entre $β$ et $θ_{3}$ , et un indicateur de l'erreur de modèle.

Corrigé

Q11. Graphe des liaisons. Le mécanisme comporte $9$ solides ( $0$ à $8$ ) et $12$ liaisons :

Graphe des liaisons : pivots d'axe $z_{B}$ aux points indiqués, pivot glissant (gl.) en $F$ .

Le nombre cyclomatique vaut $μ = 12 - 9 + 1 = 4$ : il y a quatre boucles indépendantes, $0 - 3 - 2 - 1$ , $0 - 1 - 4 - 5$ , $0 - 5 - 6$ et $0 - 6 - 7 - 8$ .

Démarche. Pour chaque boucle, on écrit une fermeture géométrique (relation de Chasles sur les points de la boucle), projetée sur $x_{B}$ et $y_{B}$ : $4 \times 2 = 8$ équations scalaires pour les $8$ inconnues $θ_{1}$ , $θ_{2}$ , $θ_{4}$ , $θ_{5}$ , $λ_{5}$ , $θ_{6}$ , $θ_{7}$ , $β$ , l'entrée $θ_{3}$ étant imposée (mobilité utile 1). On résout de proche en proche, de l'entrée vers la sortie :

boucle $A - B - C - D$ : $θ_{3} \mapsto θ_{1}$ , en éliminant $θ_{2}$ par $B C^{2} = L_{2}^{2}$ (c'est la fonction loi31) ;
boucles $A - B - E - F$ et $F - G - H$ : $θ_{1} \mapsto θ_{6}$ . Les points $E$ , $F$ , $G$ sont alignés sur la tige 5 ( $F E = λ_{5} x_{5}$ , $E G = L_{5}$ ) ; pour $θ_{6}$ donné, $G = H + L_{6} x_{6}$ est connu, la direction $x_{5}$ est celle de $(F G)$ , d'où $E$ , et la condition $B E^{2} = L_{4}^{2}$ lie $θ_{1}$ et $θ_{6}$ (élimination de $θ_{4}$ , $θ_{5}$ , $λ_{5}$ ) ;
boucle $H - J - K - L$ : $θ_{6} \mapsto β$ , en éliminant $θ_{7}$ par $J K^{2} = L_{7}^{2}$ (Q12).

Ces relations ne sont pas linéaires : chacune se résout numériquement (dichotomie, Q13), puis on compose les trois lois pour obtenir $β = f (θ_{3})$ .

Q12. Boucle $0 - 6 - 7 - 8$ : $H J + J K + K L + L H = 0$ , soit $J K = H L + L K - H J$ avec

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