Corrigé Centrale 2025 S2I PSI — Partie C.I-II (Q15 à Q19) : Correcteur PI de la vitesse verticale réglé par la marge de phase

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve S2I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les transformées de Laplace des équations linéarisées (1) à (3), avec $F_{V} = 0$ et $Δ V_{z} = V_{0} Δ γ$ , définissent quatre fonctions de transfert : $H_{1} = Δ V_{x} /Δ F_{M}$ et $H_{2} = Δ V_{z} /Δ F_{M}$ (à $Δ β = 0$ ), $H_{3} = Δ V_{x} /Δ β$ et $H_{4} = Δ V_{z} /Δ β$ (à $Δ F_{M} = 0$ ). La régulation couplée des deux vitesses est représentée figure 6 ; $H_{m}$ modélise la chaîne de propulsion, $K_{t}$ le gain de la chaîne cinématique de la gouverne et $H_{t}$ sa motorisation. On prend $H_{t} (p) = 1$ et $K_{t} = 1$ .

Figure 6 — Schéma-bloc couplé des asservissements de vitesse horizontale et verticale.

Pour régler la boucle verticale, on néglige le couplage, assimilé à une perturbation $Δ V_{pert}$ (figure 7) ; correcteur proportionnel intégral $C_{H z} (p) = K_{z} (1 + \frac{1}{τ _{z} p})$ avec $K_{z} < 0$ .

Figure 7 — Boucle de vitesse verticale linéarisée et découplée.

Temps de réponse à $5%$ visé : environ $5 s$ . On utilise $ω_{c} t_{r} ≃ 3$ ( $ω_{c}$ : pulsation de coupure à $0 dB$ de la boucle ouverte) et l'on travaille dans $[0, 5; 5] rad \cdot s^{- 1}$ avec une approximation $H ~_{4} (p)$ de $H_{4} (p)$ .

Figure 8 — Diagramme de Bode de $H_{4} (p)$ .

Q15. Montrer que, sur l'intervalle retenu, $H_{4} (p)$ s'assimile à $H ~_{4} (p) = - K_{4 a} / p$ avec $K_{4 a} > 0$ ; donner $K_{4 a}$ .
Q16. Écrire la fonction de transfert en boucle ouverte avec $H ~_{4}$ ; justifier $K_{z} < 0$ .
Q17. En déduire la condition sur $τ_{z}$ imposée par la marge de phase du cahier des charges compte tenu du temps de réponse visé ; application numérique.
Q18. Avec ce $τ_{z}$ , déterminer $K_{z}$ pour satisfaire marge de phase et rapidité ; application numérique.

Figure 9 — Diagramme de Bode de la boucle ouverte corrigée ( $C_{H z}$ réglé et $H_{4}$ ).

Q19. Lire les marges de gain et de phase sur la figure 9 et conclure sur la loi de commande de la vitesse verticale.

Corrigé

Q15. Lecture de la figure 8 sur $[0, 5; 5] rad \cdot s^{- 1}$ :

la phase reste voisine de $+ 9 0^{\circ}$ ( $90, 7^{\circ}$ à $0, 5$ , $88, 9^{\circ}$ à $1$ , $8 5^{\circ}$ à $3 rad \cdot s^{- 1}$ ), loin des deux résonances ( $0, 2$ et $11 rad \cdot s^{- 1}$ ) ;
le module décroît d'environ $20 dB$ par décade : $49, 9 dB$ à $0, 5$ , $42, 7 dB$ à $1$ , $36, 6 dB$ à $2 rad \cdot s^{- 1}$ .

Or $H ~_{4} (j ω) = - \frac{K _{4 a}}{j ω} = j \frac{K _{4 a}}{ω}$ a un module $K_{4 a} / ω$ (pente $- 20 dB$ par décade) et un argument $18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = + 9 0^{\circ}$ : c'est bien le comportement observé. À $ω = 1 rad \cdot s^{- 1}$ , $20 lo g K_{4 a} = 42, 7 dB$ , d'où

$K_{4 a} = 1 0^{42, 7/20} \approx 1, 4 \times 1 0^{2} m \cdot s^{- 2} \cdot ra d^{- 1}$

(lecture à $\pm 1 dB$ près, soit $K_{4 a}$ entre $1, 2 \times 1 0^{2}$ et $1, 5 \times 1 0^{2}$ ; $Δ V_{z}$ en $m \cdot s^{- 1}$ , $Δ β$ en radians : aux basses pulsations, $H_{4}$ a un module voisin de $40 dB$ et une phase voisine de $18 0^{\circ}$ , soit un gain d'environ $- 100 m \cdot s^{- 1} \cdot ra d^{- 1}$ , ce qui est cohérent avec la descente de quelques $m \cdot s^{- 1}$ obtenue pour $β = 2, 4^{\circ}$ sur la figure 15). La relation $- K_{4 a} / p$ traduit qu'à ces pulsations, un braquage de la gouverne commande l'accélération verticale, avec un signe négatif : braquer la gouverne fait piquer l'avion.

Q16. Avec $C_{H z} (p) = K_{z} \frac{1 + τ _{z} p}{τ _{z} p}$ et le retour unitaire de la figure 7 :

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