Corrigé Centrale 2025 S2I PSI — Partie C.III (Q20 à Q29) : Boucle de vitesse horizontale : réduction du schéma couplé et PI à amortissement critique

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve S2I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Schéma couplé (figure 6), boucle verticale découplée (figure 7) et notations : voir la partie C.I-II. Pour régler la boucle horizontale, $Δ V_{x}^{*}$ est la consigne et $Δ V_{z}^{*}$ une perturbation.

Q20. Exprimer la fonction de transfert en boucle fermée de la boucle verticale découplée, $H_{B F v_{z}} (p)$ , en fonction de $H_{4}$ et $C_{H z}$ .

Figure 10 — Schéma-bloc intermédiaire.

Q21. Exprimer $A (p)$ en fonction de $H_{4}$ et $H_{B F v_{z}}$ pour passer de la figure 6 à la figure 10.
Q22. Montrer que le schéma se met sous la forme de la figure 11 et exprimer $B (p)$ en fonction de $H_{2}$ , $H_{3}$ , $H_{4}$ et $H_{B F v_{z}}$ .

Figure 11 — Boucle de vitesse horizontale perturbée.

Boucle ouverte : $H_{B O v_{x}} (p) = Δ V_{x} / ε_{x} = C_{H x} (p) H_{m} (p) (H_{1} (p) - B (p))$ . Temps de réponse visé : environ $3 s$ , d'où l'étude entre $0, 8$ et $8 rad \cdot s^{- 1}$ .

Figure 16 (annexe D) — Diagramme de Bode de $H_{1} (p) - B (p)$ .

Q23. En déduire une expression numérique simplifiée $H ~_{1} (p) = K_{1 a} / p$ ( $K_{1 a} > 0$ ) de $H_{1} - B$ .

Correcteur proportionnel intégral $C_{H x} (p) = K_{x} (1 + \frac{1}{τ _{x} p})$ ; propulsion $H_{m} (p) = 1/ (1 + 0, 01 p)$ , $p$ en $s^{- 1}$ .

Q24. Justifier que, dans l'intervalle retenu, $H_{B O v_{x}} (p) \approx C_{H x} (p) H ~_{1} (p)$ .
Q25. Avec $H_{1} - B = H ~_{1}$ , établir sous forme canonique $H_{B F v_{x}} = Δ V_{x} /Δ V_{x}^{*}$ en fonction de $K_{1 a}$ , $K_{x}$ , $τ_{x}$ ; conclure sur la stabilité.
Q26. Écrire $H_{B F v_{x}} (p) = X (p) + T p X (p)$ et donner $T$ .
Q27. Donner $ω_{0}$ et $ξ$ de $X (p)$ , puis $K_{x}$ en fonction de $K_{1 a}$ et $τ_{x}$ pour une réponse indicielle de $X$ la plus rapide sans dépassement.

Figure 12 — Abaque du temps de réponse réduit à $5%$ d'un système du deuxième ordre.

Q28. Donner $τ_{x}$ pour un temps de réponse à $5%$ de $X$ égal à $3 s$ , puis $K_{x}$ .

Figure 17 (annexe D) — Réponse indicielle de $T p X (p) = \frac{τ _{x} p}{1 + τ _{x} p + \frac{τ _{x}}{K _{1 a} K _{x}} p ^{2}}$ .

Q29. Tracer la réponse indicielle de $X (p)$ en justifiant la construction ; la compléter, à l'aide de la figure 17, par celle de $H_{B F v_{x}} (p)$ ; commenter l'influence du zéro de $H_{B F v_{x}}$ .

Corrigé

Q20. Boucle à retour unitaire (figure 7), avec $K_{t} H_{t} = 1$ et $Δ V_{pert} = 0$ (une fonction de transfert se calcule entrées de perturbation nulles) :

$H_{B F v_{z}} (p) = \frac{Δ V _{z} ( p )}{Δ V _{z}^{*} ( p )} = \frac{C _{H z} ( p ) H _{4} ( p )}{1 + C _{H z} ( p ) H _{4} ( p )} .$

Q21. Sur la figure 6 (avec $K_{t} H_{t} = 1$ ) : $Δ V_{z} = H_{2} Δ F_{M} + H_{4} Δ β$ et $Δ β = C_{H z} (Δ V_{z}^{*} - Δ V_{z})$ . En éliminant $Δ V_{z}$ :

$Δ β = C_{H z} (Δ V_{z}^{*} - H_{2} Δ F_{M} - H_{4} Δ β) \Rightarrow Δ β = \frac{C _{H z}}{1 + C _{H z} H _{4}} (Δ V_{z}^{*} - H_{2} Δ F_{M}) .$

Sur la figure 10, l'entrée de $H_{3}$ est $Δ β = A (p) (Δ V_{z}^{*} - H_{2} Δ F_{M})$ . Par identification, avec Q20 :

$A (p) = \frac{C _{H z} ( p )}{1 + C _{H z} ( p ) H _{4} ( p )} = \frac{H _{B F v_{z}} ( p )}{H _{4} ( p )} .$

Q22. Sur la figure 10, $Δ V_{x} = H_{1} Δ F_{M} + H_{3} Δ β = H_{1} Δ F_{M} + H_{3} A (Δ V_{z}^{*} - H_{2} Δ F_{M})$ , soit

$Δ V_{x} = (H_{1} - A H_{2} H_{3}) Δ F_{M} + A H_{3} Δ V_{z}^{*}, Δ F_{M} = C_{H x} H_{m} ε_{x} .$

C'est exactement la figure 11 (chaîne directe $C_{H x} H_{m} (H_{1} - B)$ , perturbation $Δ V_{z}^{*}$ filtrée par $A H_{3}$ et ajoutée en sortie), avec

$B (p) = A (p) H_{2} (p) H_{3} (p) = \frac{H _{B F v_{z}} ( p ) H _{2} ( p ) H _{3} ( p )}{H _{4} ( p )} .$

Le terme $B$ représente le couplage : la poussée modifie $V_{z}$ (par $H_{2}$ ), la boucle verticale réagit en braquant la gouverne, ce qui modifie $V_{x}$ (par $H_{3}$ ).

Q23. Sur la figure 16, entre $0, 8$ et $8 rad \cdot s^{- 1}$ , la phase vaut $- 8 6^{\circ}$ à $- 9 0^{\circ}$ et le module décroît de $20 dB$ par décade ( $- 53, 9 dB$ à $0, 8$ , $- 55, 9 dB$ à $1$ , $- 74, 0 dB$ à $8 rad \cdot s^{- 1}$ ) : c'est un intégrateur. À $ω = 1 rad \cdot s^{- 1}$ , $20 lo g K_{1 a} \approx - 55, 9 dB$ :

$H ~_{1} (p) = \frac{K _{1 a}}{p}, K_{1 a} = 1 0^{- 55, 9/20} \approx 1, 6 \times 1 0^{- 3} m \cdot s^{- 2} \cdot N^{- 1} .$

Interprétation : $K_{1 a} \approx 1/ m = 1, 59 \times 1 0^{- 3} k g^{- 1}$ (c'est le coefficient $b$ de Q6) : à ces pulsations, l'avion réagit à la poussée comme une masse libre, $m \frac{d Δ V _{x}}{d t} \approx Δ F_{M}$ .

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →