Corrigé Centrale 2026 Maths 1 PC — Partie A (Q1 à Q10) : L'ellipse : équation réduite, tracé et excentricité

Q1. L'inégalité triangulaire, pour trois points $M$, $N$, $R$ du plan, s'écrit $MR⩽MN+NR$ (c'est l'inégalité triangulaire de la norme euclidienne appliquée à $\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NR}$). Appliquée aux points $M$, $F$, $F^{\prime }$, elle donne en particulier

$$MF⩽M{F}^{\prime }+F^{\prime }F\text{et}M{F}^{\prime }⩽MF+F{F}^{\prime }.$$

La première donne $MF-M{F}^{\prime }⩽F{F}^{\prime }$, la seconde $-(MF-M{F}^{\prime })⩽F{F}^{\prime }$. Comme $|MF-M{F}^{\prime }|$ est l'un des deux réels $MF-M{F}^{\prime }$ ou $-(MF-M{F}^{\prime })$, on obtient

$$F{F}^{\prime }⩾|MF-M{F}^{\prime }|.$$

Q2. Ici $F{F}^{\prime }=\sqrt{(c-(-c){)}^2+0^2}=2c$, et $c<a$ par hypothèse. Donc, d'après Q1,

$$|MF-M{F}^{\prime }|⩽2c<2a.$$

Si l'on avait $MF-M{F}^{\prime }-2a=0$, on aurait $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$ ; si l'on avait $MF-M{F}^{\prime }+2a=0$, on aurait $|MF-M{F}^{\prime }|=|-2a|=2a$. Les deux cas contredisent $|MF-M{F}^{\prime }|<2a$ : ainsi $MF-M{F}^{\prime }-2a\ne 0$ et $MF-M{F}^{\prime }+2a\ne 0$.

Q3. Notons $\Pi =(M{F}^{\prime }+MF-2a)(M{F}^{\prime }+MF+2a)(MF-M{F}^{\prime }-2a)(MF-M{F}^{\prime }+2a)$. Un produit de réels est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Or :

• $M{F}^{\prime }+MF+2a⩾2a>0$ (distances positives, $a>0$) : ce facteur n'est jamais nul ;
• les deux derniers facteurs ne sont jamais nuls d'après Q2.

Donc $\Pi =0⟺M{F}^{\prime }+MF-2a=0⟺MF+M{F}^{\prime }=2a⟺M\in \mathcal{E}$.

Q4. Posons $s=M{F}^{\prime }$ et $r=MF$. On regroupe les facteurs deux à deux avec l'identité $(p-q)(p+q)=p^2-q^2$ :

$$(s+r-2a)(s+r+2a)=(s+r{)}^2-4a^2=s^2+r^2-4a^2+2sr,$$

$$(r-s-2a)(r-s+2a)=(r-s{)}^2-4a^2=s^2+r^2-4a^2-2sr.$$

En posant $K=s^2+r^2-4a^2$, on a donc $\Pi =(K+2sr)(K-2sr)=K^2-4s^2{r}^2$. Avec Q3 :

$$M\in \mathcal{E}⟺\Pi =0⟺(M{F}^{\prime 2}+M{F}^2-4a^2{)}^2=4M{F}^{\prime 2}M{F}^2.$$

Q5. Dans le repère orthonormé, $M{F}^2=(x-c{)}^2+y^2$ et $M{F}^{\prime 2}=(x+c{)}^2+y^2$. Posons $\sigma =x^2+y^2+c^2$ ; alors

$$M{F}^2=\sigma -2cx,M{F}^{\prime 2}=\sigma +2cx,$$

d'où $M{F}^{\prime 2}+M{F}^2=2\sigma$ et $M{F}^{\prime 2}M{F}^2={\sigma }^2-4c^2{x}^2$. L'équivalence de Q4 devient