Corrigé Centrale 2026 Maths 1 PC — Partie B (Q11 à Q15) : Système différentiel des trois planètes par diagonalisation

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $i \in [[1, 3]]$ , $h_{i}$ et $l_{i}$ sont deux fois dérivables sur $R_{+}$ . On note $H_{t}$ , $L_{t}$ , $G_{t}$ , $K_{t}$ , $F_{t}$ les vecteurs colonnes de coordonnées respectives $h_{i} (t)$ , $l_{i} (t)$ , $h_{i}^{'} (t)$ , $l_{i}^{'} (t)$ , $h_{i}^{''} (t)$ . On suppose qu'il existe $B \in M_{3} (R)$ constante telle que, pour tout $t \in R_{+}$ : $G_{t} = B L_{t}$ et $K_{t} = - B H_{t}$ .

Q11. Montrer que $F_{t} = A H_{t}$ pour tout $t \in R_{+}$ , avec $A = - B^{2}$ .
Dans la suite, $A$ a trois valeurs propres réelles $λ_{1} < λ_{2} < λ_{3} < 0$ .
Q12. Montrer qu'il existe $Q \in GL_{3} (R)$ telle que $A = Q diag (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) Q^{- 1}$ .
Q13. On pose $Y_{t} = Q^{- 1} H_{t}$ , de coordonnées $y_{1} (t)$ , $y_{2} (t)$ , $y_{3} (t)$ . Montrer que chaque $y_{i}$ est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à préciser.
Q14. Donner l'expression générale de $y_{i} (t)$ .
Q15. Montrer que $B \in GL_{3} (R)$ ; exprimer les $h_{i}$ puis les $l_{i}$ en fonction des $y_{j}$ , de $B$ et de $Q$ .

Corrigé

Q11. Par définition, $G_{t} = H_{t}^{'}$ (dérivée coordonnée par coordonnée) et $K_{t} = L_{t}^{'}$ . La relation $H_{t}^{'} = B L_{t}$ est vraie pour tout $t \in R_{+}$ ; son second membre est dérivable, puisque chaque coordonnée $\sum_{j} b_{ij} l_{j} (t)$ est une combinaison linéaire à coefficients constants des fonctions dérivables $l_{j}$ . On peut donc dériver, et par linéarité de la dérivation :

$H_{t}^{''} = B L_{t}^{'} = B K_{t} = B (- B H_{t}) = - B^{2} H_{t} .$

Comme $F_{t} = H_{t}^{''}$ , on obtient $F_{t} = A H_{t}$ pour tout $t \in R_{+}$ , avec $A = - B^{2}$ .

Ce que le correcteur attend : c'est la constance de $B$ qui autorise $(B L_{t})^{'} = B L_{t}^{'}$ .

Q12. $A \in M_{3} (R)$ possède trois valeurs propres réelles deux à deux distinctes $λ_{1} < λ_{2} < λ_{3}$ : son polynôme caractéristique, unitaire de degré $3$ , admet ces trois racines, donc $χ_{A} = (X - λ_{1}) (X - λ_{2}) (X - λ_{3})$ est scindé à racines simples sur $R$ . D'après la condition suffisante de diagonalisabilité (« $n$ valeurs propres distinctes en dimension $n$ »), $A$ est diagonalisable dans $M_{3} (R)$ .

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