Corrigé Centrale 2026 Maths 1 PC — Partie C (Q16 à Q23) : Méthode de Le Verrier : polynôme caractéristique par les traces

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$Tr (M)$ désigne la trace de $M \in M_{3} (R)$ .

Q16. Montrer $Tr (A B) = Tr (B A)$ pour $A, B \in M_{3} (R)$ ; en déduire que deux matrices semblables ont même trace.
On pose $A = Q diag (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) Q^{- 1}$ avec $Q \in GL_{3} (R)$ , $λ_{i} \in R$ , et $S_{k} = λ_{1}^{k} + λ_{2}^{k} + λ_{3}^{k}$ pour $k \in {1, 2, 3}$ . On écrit le polynôme caractéristique $P_{A} = α_{0} + α_{1} X + α_{2} X^{2} + α_{3} X^{3}$ .
Q17. Exprimer $Tr (A)$ , $Tr (A^{2})$ , $Tr (A^{3})$ en fonction des $S_{k}$ .
Q18. Exprimer $P_{A}$ , puis $α_{0}, α_{1}, α_{2}$ , en fonction des $λ_{i}$ .
Q19. Exprimer $α_{1}$ et $α_{2}$ en fonction de $S_{1}$ , $S_{2}$ (on admet $α_{0} = \frac{3 S _{1} S _{2} - S _{1}^{3} - 2 S _{3}}{6}$ ).
Désormais $A = \frac{1}{2} - 4 00 11171371$ et $R = X^{3} + X^{2} - 14 X - 24$ .
Q20. Justifier l'existence de $T \in M_{3} (C)$ triangulaire supérieure et $Q \in GL_{3} (C)$ telles que $A = QT Q^{- 1}$ . Les relations de Q19 restent-elles valables ?
Q21. Calculer $Tr (A)$ , $Tr (A^{2})$ , $Tr (A^{3})$ ; en déduire $P_{A} = R$ .
Q22. Déterminer les valeurs propres de $A$ .
Q23. Déterminer $Q \in GL_{3} (R)$ telle que $Q^{- 1} A Q$ soit diagonale.

Corrigé

Q16. Soit $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ dans $M_{3} (R)$ . Par définition du produit, $(A B)_{ii} = \sum_{k = 1}^{3} a_{ik} b_{k i}$ , donc, en échangeant les deux sommes finies,

$Tr (A B) = i = 1 \sum 3 k = 1 \sum 3 a_{ik} b_{k i} = k = 1 \sum 3 i = 1 \sum 3 b_{k i} a_{ik} = k = 1 \sum 3 (B A)_{k k} = Tr (B A) .$

Si $A^{'}$ est semblable à $A$ , il existe $P \in GL_{3} (R)$ telle que $A^{'} = P^{- 1} A P$ . En appliquant ce qui précède aux matrices $P^{- 1}$ et $A P$ :

$Tr (A^{'}) = Tr (P^{- 1} (A P)) = Tr ((A P) P^{- 1}) = Tr (A) .$

(Le calcul est identique dans $M_{3} (C)$ ; on s'en servira en Q20.)

Q17. Notons $Δ = diag (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3})$ . Par récurrence sur $k \in N^{*}$ , $A^{k} = Q Δ^{k} Q^{- 1}$ : c'est vrai pour $k = 1$ , et si c'est vrai au rang $k$ , $A^{k + 1} = Q Δ^{k} Q^{- 1} Q Δ Q^{- 1} = Q Δ^{k + 1} Q^{- 1}$ . Ainsi $A^{k}$ est semblable à $Δ^{k} = diag (λ_{1}^{k}, λ_{2}^{k}, λ_{3}^{k})$ et, par Q16,

$Tr (A) = S_{1}, Tr (A^{2}) = S_{2}, Tr (A^{3}) = S_{3} .$

Q18. On prend la convention du cours : $P_{A} = det (X I_{3} - A)$ , polynôme unitaire (donc $α_{3} = 1$ ; c'est aussi la convention compatible avec la valeur admise de $α_{0}$ , voir Q19). Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique :

$det (X I_{3} - A) = det (Q (X I_{3} - Δ) Q^{- 1}) = det Q det (X I_{3} - Δ) det Q^{- 1} = det (X I_{3} - Δ),$

et $X I_{3} - Δ$ est diagonale. Donc

$P_{A} = (X - λ_{1}) (X - λ_{2}) (X - λ_{3}) et, en d e ˊ veloppant,$

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