Corrigé Centrale 2026 Maths 1 PC — Partie D (Q24 à Q34) : Perturbation de rang 1 d'une matrice diagonale : spectre et limites

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $a < b < c$ réels, $(u, v, w) \in (R^{*})^{3}$ , $U = (u, v, w)^{⊤}$ , $T = U U^{⊤}$ , $D = diag (a, b, c)$ , $t \in R^{*}$ fixé et $D (t) = D + tT$ . On note $F (λ) = \frac{u ^{2}}{λ - a} + \frac{v ^{2}}{λ - b} + \frac{w ^{2}}{λ - c}$ et $(E_{t})$ l'équation $F (λ) = \frac{1}{t}$ d'inconnue $λ \in R$ .

Soit $λ \in R ∖ {a, b, c}$ valeur propre de $D (t)$ et $X$ un vecteur propre associé.
Q24. Montrer $λ I_{3} - D \in GL_{3} (R)$ et $U^{⊤} X = t U^{⊤} (λ I_{3} - D)^{- 1} U U^{⊤} X$ .
Q25. Montrer $U^{⊤} (λ I_{3} - D)^{- 1} U = \frac{1}{t}$ .
Q26. En déduire que $λ$ est solution de $(E_{t})$ .
Q27. Variations de $F$ ; en déduire que $F$ s'annule en exactement deux points $ρ_{1} < ρ_{2}$ .
Q28. Montrer que $(E_{t})$ a trois solutions $λ_{1} (t) < λ_{2} (t) < λ_{3} (t)$ , à situer par rapport à $a, b, c, ρ_{1}, ρ_{2}$ (cas $t > 0$ et $t < 0$ ).
Q29. Montrer que l'ensemble des solutions de $(E_{t})$ est le spectre de $D (t)$ .
$g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4}$ sont les réciproques des restrictions de $F$ à $] - \infty, a [$ , $] a, b [$ , $] b, c [$ , $] c, + \infty [$ .
Q30. Justifier l'existence des $g_{i}$ ; calculer $g_{2} (0)$ et les limites de $g_{2}$ en $\pm \infty$ .
Q31. Exprimer $λ_{1} (t), λ_{2} (t), λ_{3} (t)$ à l'aide des $g_{i}$ (cas $t > 0$ et $t < 0$ ).
Q32. Montrer que $λ_{1}$ se prolonge par continuité à $R$ .
Q33. Montrer que $λ_{1}$ prolongée est dérivable sur $R$ et calculer $λ_{1}^{'} (0)$ ; donner $λ_{2}^{'} (0)$ et $λ_{3}^{'} (0)$ .
Q34. Limites de $λ_{1}$ en $\pm \infty$ ; commenter la comparaison des spectres de $D$ et de $D (t)$ .

Corrigé

Q24. $λ I_{3} - D = diag (λ - a, λ - b, λ - c)$ est diagonale de coefficients diagonaux non nuls (car $λ \in / {a, b, c}$ ) : son déterminant $(λ - a) (λ - b) (λ - c)$ est non nul, donc $λ I_{3} - D \in GL_{3} (R)$ , d'inverse $diag (\frac{1}{λ - a}, \frac{1}{λ - b}, \frac{1}{λ - c})$ .

Ensuite $D (t) X = λ X$ s'écrit $D X + t U U^{⊤} X = λ X$ , soit

$(λ I_{3} - D) X = t U U^{⊤} X .$

En multipliant à gauche par $(λ I_{3} - D)^{- 1}$ puis par $U^{⊤}$ :

$X = t (λ I_{3} - D)^{- 1} U U^{⊤} X puis U^{⊤} X = t U^{⊤} (λ I_{3} - D)^{- 1} U U^{⊤} X .$

Q25. Les matrices $U^{⊤} X$ et $γ = U^{⊤} (λ I_{3} - D)^{- 1} U$ sont de taille $1 \times 1$ , identifiées à des réels ; par associativité, Q24 s'écrit $U^{⊤} X = t γ (U^{⊤} X)$ .

Montrons que $U^{⊤} X \neq = 0$ . Sinon, $(λ I_{3} - D) X = t U (U^{⊤} X) = 0$ , et comme $λ I_{3} - D$ est inversible, $X = 0$ : impossible pour un vecteur propre. On peut donc simplifier par le réel non nul $U^{⊤} X$ : $t γ = 1$ , et comme $t \neq = 0$ ,

$U^{⊤} (λ I_{3} - D)^{- 1} U = \frac{1}{t} .$

Q26. Avec l'inverse diagonal de Q24,

$U^{⊤} (λ I_{3} - D)^{- 1} U = (u, v, w) \frac{u}{λ - a} \frac{v}{λ - b} \frac{w}{λ - c} = \frac{u ^{2}}{λ - a} + \frac{v ^{2}}{λ - b} + \frac{w ^{2}}{λ - c} = F (λ) .$

Par Q25, $F (λ) = \frac{1}{t}$ : $λ$ est solution de $(E_{t})$ .

Q27. $F$ est une fraction rationnelle définie et dérivable sur $R ∖ {a, b, c}$ , avec

$F^{'} (λ) = - \frac{u ^{2}}{( λ - a ) ^{2}} - \frac{v ^{2}}{( λ - b ) ^{2}} - \frac{w ^{2}}{( λ - c ) ^{2}} < 0$

car $u, v, w$ sont non nuls. $F$ est donc strictement décroissante sur chacun des quatre intervalles $] - \infty, a [$ , $] a, b [$ , $] b, c [$ , $] c, + \infty [$ (pas sur leur réunion). Limites :

en $\pm \infty$ , chaque terme tend vers $0$ , donc $F \to 0$ ; sur $] - \infty, a [$ les trois dénominateurs sont négatifs, donc $F < 0$ ; sur $] c, + \infty [$ ils sont positifs, donc $F > 0$ ;
en $a$ : $\frac{u ^{2}}{λ - a} \to - \infty$ si $λ \to a^{-}$ et $+ \infty$ si $λ \to a^{+}$ , les deux autres termes ayant une limite finie ; de même en $b$ et en $c$ .

$λ F^{'} (λ) F (λ) - \infty 0 - ↘ a - \infty a + \infty - ↘ b - \infty b + \infty - ↘ c - \infty c + \infty - ↘ + \infty 0$

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