Corrigé Centrale 2026 Physique 1 PC — Partie A.I (Q1 à Q9) : Évaporation diffusive d'une goutte : loi en r²

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Goutte d'eau sphérique (pesanteur ignorée) de masse volumique $μ_{eau}$ , de rayon $r_{g} (t)$ , initialement $r_{g 0} = 1 mm$ , qui s'évapore dans l'air humide. La vapeur d'eau (masse molaire $M_{eau}$ ) diffuse dans l'air avec le coefficient $D$ ; air et vapeur sont des gaz parfaits. À la surface, le liquide est en équilibre avec sa vapeur ; loin de la goutte, $T_{\infty} = 2 0^{\circ} C$ et la pression partielle en eau vaut $p_{\infty} (T_{\infty})$ . Humidité relative : $R_{H} = p_{\infty} (T_{\infty}) / p_{sat} (T_{\infty}) ⩽ 1$ . Dans cette sous-partie, la goutte reste à $T_{g} = T_{\infty} = T = 293, 15 K$ . On note $c (r, t)$ la concentration en masse de vapeur et $_{m}$ le vecteur densité de courant diffusif de masse.

Données : $D = 2, 4 \times 1 0^{- 5} m^{2} \cdot s^{- 1}$ , $M_{eau} = 18 g \cdot mo l^{- 1}$ , $R = 8, 314 J \cdot K^{- 1} \cdot mo l^{- 1}$ , $p_{sat} (293, 15 K) = 2, 3 \times 1 0^{3} Pa$ , $μ_{eau} = 1, 0 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ .

Figure 1 — Évaporation d'une goutte d'eau sphérique.

Q1. Définir la pression de vapeur saturante ; sens de variation avec $T$ .
Q2. Justifier la symétrie sphérique du flux diffusif et $c = c (r, t)$ .
Q3. Loi de Fick entre $c$ et $_{m}$ ; unités.
Q4. Relier $c$ à la pression partielle $p (r, t)$ ; conditions aux limites sur $c$ .
On se place dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires ; on admet qu'alors $_{m}$ est à flux conservatif.
Q5. Critère quantitatif de validité de cette approximation.
Q6. Montrer que le flux de masse sortant vaut $ϕ_{m} = 4 π r_{g} \frac{M _{eau} D p _{sat} ( T )}{R T} (1 - R_{H})$ (2).
Q7. Bilan de masse entre $t$ et $t + d t$ ; en déduire $r_{g} \frac{d r _{g}}{d t} = - \frac{M _{eau} D p _{sat} ( T )}{μ _{eau} R T} (1 - R_{H})$ (3).
Q8. Loi $r_{g} (t)$ ; faire apparaître la durée d'évaporation $t_{0}$ .
Q9. Valeur de $t_{0}$ pour $R_{H} = 0$ ; validité de l'approximation quasi-stationnaire.

Corrigé

Q1. La pression de vapeur saturante $p_{sat} (T)$ d'un corps pur est la pression de sa vapeur lorsqu'elle coexiste à l'équilibre avec la phase liquide à la température $T$ (pression d'équilibre liquide-vapeur ; pour un gaz en mélange, c'est la valeur que doit prendre la pression partielle de la vapeur pour être en équilibre avec le liquide). Elle est fonction croissante de la température (relation de Clapeyron : $d p_{sat} / d T = Δ h_{vap} / [T (v_{g} - v_{ℓ})] > 0$ car la vaporisation est endothermique et $v_{g} > v_{ℓ}$ ) ; la croissance est rapide, quasi exponentielle (formule de Clausius-Clapeyron, relation (6) de l'énoncé). Pour l'eau : $6, 1 \times 1 0^{2} Pa$ à $0^{\circ} C$ , $2, 3 \times 1 0^{3} Pa$ à $2 0^{\circ} C$ , $1, 013 \times 1 0^{5} Pa$ à $10 0^{\circ} C$ .

Q2. La goutte est une sphère de centre $O$ , entourée d'une atmosphère homogène et isotrope (pas de pesanteur, pas d'écoulement), et les conditions aux limites (en $r = r_{g}$ et à l'infini) ne dépendent pas de la direction. Le problème est donc invariant par toute rotation autour de $O$ : en coordonnées sphériques $(r, θ, φ)$ centrées en $O$ , la concentration ne dépend ni de $θ$ ni de $φ$ , d'où $c (r, t) = c (r, t)$ . Par ailleurs, tout plan contenant $O$ et le point $M$ considéré est plan de symétrie de la distribution ; le vecteur $_{m} (M)$ , vecteur polaire, appartient à tous ces plans, donc à leur intersection, la droite $(O M)$ : $_{m} = j_{m} (r, t) e_{r}$ . Le flux diffusif est à symétrie sphérique (radial, de norme ne dépendant que de $r$ et $t$ ).

Q3. Loi de Fick (phénoménologique, réponse linéaire, milieu isotrope) :

$_{m} = - D grad c .$

Unités SI : $c$ en $kg \cdot m^{- 3}$ ; $_{m}$ en $kg \cdot m^{- 2} \cdot s^{- 1}$ (masse traversant l'unité de surface par unité de temps) ; $D$ en $m^{2} \cdot s^{- 1}$ (homogénéité : $[D] = [j_{m}] m / [c] = m^{2} \cdot s^{- 1}$ ). Le signe « $-$ » traduit le transport des zones de forte concentration vers les zones de faible concentration. Ici, avec Q2 : $j_{m} (r, t) = - D \frac{\partial c}{\partial r}$ .

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