Corrigé Centrale 2026 Physique 1 PC — Partie A.II à A.IV (Q10 à Q22) : Température de la goutte, rayonnement, psychromètre

Q10. Deux arguments concordants.

• Résistances thermiques : pour un objet sphérique de taille $r_{\mathrm{g}}$, la résistance de conduction est d'ordre $1/(\lambda r_{\mathrm{g}})$ ; l'écart de température à l'intérieur de la goutte est à l'écart goutte-atmosphère dans le rapport ${\lambda }_{\mathrm{air}}/{\lambda }_{\mathrm{eau}}=0,026/0,61\approx 4\times 10^{-2}$ : la quasi-totalité de la chute de température a lieu dans l'air (nombre de Biot petit).
• Durées : la diffusivité thermique de l'eau est $a={\lambda }_{\mathrm{eau}}/({\mu }_{\mathrm{eau}}{c}_{\mathrm{eau}})=0,61/(1,0\times 10^3\times 4,2\times 10^3)\approx 1,5\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, d'où une durée d'homogénéisation $r_{\mathrm{g}0}^2/a\approx 7\mathrm{s}$, très petite devant la durée d'évaporation ($t_0\sim 10^3\mathrm{s}$, Q9).

La température de la goutte est donc uniforme, égale à $T_{\mathrm{g}}(t)$.

Q11. La vaporisation est endothermique : $\Delta h_{\mathrm{vap}}>0$ (il faut fournir de l'énergie pour rompre les interactions entre molécules du liquide). La goutte cède à l'eau qui s'évapore l'énergie $\Delta h_{\mathrm{vap}}\mathrm{d}m$ ; elle se refroidit jusqu'à ce que le transfert thermique reçu de l'air compense cette consommation : $T_{\mathrm{g}}<T_{\infty }$.

Q12. Dans l'air (immobile, régime quasi-stationnaire, pas de source), la température ne dépend que de $r$ (même argument de symétrie qu'en Q2) et le flux thermique à travers toute sphère de rayon $r⩾r_{\mathrm{g}}$ est conservatif. Loi de Fourier : ${\overrightarrow{ȷ}}_{\mathrm{th}}=-{\lambda }_{\mathrm{air}}\overrightarrow{\mathrm{grad}}T=-{\lambda }_{\mathrm{air}}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}{\overrightarrow{e}}_r$. Le flux reçu par la goutte (dirigé vers $-{\overrightarrow{e}}_r$) vaut, pour tout $r$ :

$${\varphi }_{\mathrm{th},\mathrm{d}}=4\pi r^2{\lambda }_{\mathrm{air}}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}$$

$$⟹T(r)=T_{\infty }-\frac{{\varphi }_{\mathrm{th},\mathrm{d}}}{4\pi {\lambda }_{\mathrm{air}}r}$$

$$⟹T_{\infty }-T_{\mathrm{g}}=\frac{{\varphi }_{\mathrm{th},\mathrm{d}}}{4\pi {\lambda }_{\mathrm{air}}{r}_{\mathrm{g}}}.$$

Donc

$${\varphi }_{\mathrm{th},\mathrm{d}}=\frac{T_{\infty }-T_{\mathrm{g}}}{R_{\mathrm{th},\mathrm{d}}}\text{avec}{R}_{\mathrm{th},\mathrm{d}}=\frac{1}{4\pi {\lambda }_{\mathrm{air}}{r}_{\mathrm{g}}},$$

en $\mathrm{K}\cdot {\mathrm{W}}^{-1}$. C'est la résistance d'une coquille d'air comprise entre $r_{\mathrm{g}}$ et l'infini (${\int }_{r_{\mathrm{g}}}^{\infty }\mathrm{d}r/(4\pi \lambda r^2)$).

Q13. Système fermé : l'eau contenue dans la goutte à l'instant $t$ (dont la masse ${\varphi }_{\mathrm{m}}\mathrm{d}t$ qui se vaporise pendant $\mathrm{d}t$). Premier principe pour une évolution monobare (pression $p_{\mathrm{atm}}$) : $\mathrm{d}H=\delta Q$. La variation d'enthalpie comprend la vaporisation de la masse ${\varphi }_{\mathrm{m}}\mathrm{d}t$ à $T_{\mathrm{g}}$ et la variation de température de la goutte : $\mathrm{d}H=\Delta h_{\mathrm{vap}}{\varphi }_{\mathrm{m}}\mathrm{d}t+m{c}_{\mathrm{eau}}\mathrm{d}{T}_{\mathrm{g}}$. En régime quasi-stationnaire, $T_{\mathrm{g}}$ est constante (le résultat (5) ne dépend d'ailleurs pas de $r_{\mathrm{g}}$), donc le second terme est nul. Avec $\delta Q={\varphi }_{\mathrm{th},\mathrm{d}}\mathrm{d}t$ (Q12) :

$$\frac{T_{\infty }-T_{\mathrm{g}}}{R_{\mathrm{th},\mathrm{d}}}=\Delta h_{\mathrm{vap}}{\varphi }_{\mathrm{m}}$$

$$⟹4\pi {\lambda }_{\mathrm{air}}{r}_{\mathrm{g}}(T_{\infty }-T_{\mathrm{g}})=\Delta h_{\mathrm{vap}}4\pi r_{\mathrm{g}}\frac{M_{\mathrm{eau}}D}{R}\left(\frac{p_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{g}})}{T_{\mathrm{g}}}-\frac{p_{\infty }(T_{\infty })}{T_{\infty }}\right).$$

Le rayon se simplifie. En écrivant $p_{\infty }(T_{\infty })={\mathcal{R}}_H{p}_{\mathrm{sat}}(T_{\infty })$ et en factorisant $p_{\mathrm{sat}}(T_{\infty })/T_{\infty }$ :

$$T_{\infty }-T_{\mathrm{g}}=\frac{\Delta h_{\mathrm{vap}}{M}_{\mathrm{eau}}D{p}_{\mathrm{sat}}(T_{\infty })}{{\lambda }_{\mathrm{air}}R{T}_{\infty }}\left(\frac{p_{\mathrm{sat}}(T_{\mathrm{g}})}{T_{\mathrm{g}}}\frac{T_{\infty }}{p_{\mathrm{sat}}(T_{\infty })}-{\mathcal{R}}_H\right).\text{\hspace{1em}(5)}$$